对称性在微积分解题中的应用文献综述

文献综述

I课题研究的现状及发展趋势：

（一）微积分的发展简史：

微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。在18世纪这一时期微积分深入发展的几个主要方面： 积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化、微积分严格化的尝试。18世纪以来，微积分被广泛应用，并且得到了不断的发展和完善，内容越来越丰富。

（二）对称性在微积分解题中的应用课题研究现状及发展趋势

关于微积分的求解有许多方法，微积分的求解问题也是数学中一个很复杂的问题，这里主要探讨利用对称性简化微积分的求解，对称性在微积分求解中的应用研究到目前有以下简单的归纳：

对称性在微分中的应用主要是利用函数的对称性，或者轮换对称性简化求多元函数的偏导数；对称性在积分中的应用主要分为三大类来讨论：一元及多元对称函数在一重积分中的应用、在二重积分的应用以及在三重积分的应用。

其中研究对称性在积分问题中的应用更为深广，这一部分也是本课题研究的主要内容以及关键难点部分。本课题会在已有的研究成果基础上进一步研究对称性在微积分解题中的应用，将对称函数的定义、性质作一个全面的归纳整理，对相关理论知识去做更加深刻和全面的理解，将结论推广到多元函数中。

II本课题研究的意义和价值：

微积分是现代数学的基础，在大学理工科学习中，微积分也是重中之重，考试中也占有很大的比重。运用常规的方法去求解微积分问题会比较困难。这时运用对称的思想去解决微积分问题，就能达到事半功倍的效果，很大程度的简化微积分的运算。对称性在数学领域运用非常广泛，对称性也体现了数学之美。函数的对称性是函数的一个基本性质，文献[1]和文献[2]就介绍了对称函数的概念和性质，在求解微积分问题时，将函数的积分区域对称性，函数图像的对称性，以及奇偶性纳入考虑范围，就会得到便捷的求解方法,文献[3-12]讨论了在这些方面运用对称性求解微分及积分的问题。