凸函数的性质与应用文献综述

文献综述

1.课题研究背景

凸函数是一个十分重要的数学概念，广泛应用于纯粹数学和应用数学的众多领域中。在60年代中期诞生了一门新的数学分科——凸分析，而凸函数作为凸分析的重要研究对象，它具有许多良好的性质能在实际运用中得以体现，特别是对于不等式研究来说有重要的意义，并且在函数图形的描绘方面也起着重要的作用。

2.课题的研究现状

关于凸函数的性质，人们已能很好的掌握。例如一个很重要的应用在于运用其在区间上变化的整体形态，对于不等式的证明问题巧妙的构造凸函数，从而简便地证明不等式。随着对凸函数认识的逐步深刻，人们总结出了很多由凸函数推导出来的经典不等式，其中Jensen不等式与Hadamard不等式最是发挥了无与伦比的作用。Jensen不等式将无穷项求和与积分联系了起来，大多用于有限不等式的证明；而利用Hadamard不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。凸分析这一学科发展至今，尽管人们对于函数凸性的运用已有很多经验，但这并不意味着凸函数的发展会止步于当前，凸函数还有很多的性质以及在实际中的运用等待着人们的挖掘。

3.课题的研究意义及趋势

在现实生活中，由于大部分的函数都是非凸的，这就使得凸分析暴露出了其局限性。于是，人们为了加强凸函数的实际应用，将凸函数的概念按多途径进行推广，如今，就产生了许多广义凸函数的概念。根据这个发展趋势，如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围内，能将凸函数的一些重要性质保留下来，已经构成了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分的必要。

本文就将在对数学分析中对于凸函数介绍的基础之上，归纳总结凸函数的等价定义、基本性质以及它的分析性质，并对已得到推广的广义凸函数的概念、性质做整理，使自己对凸函数的相关理论知识有更加深刻的全面的理解，能够在实际生活中更好的运用凸函数。

4.参考文献