特征多项式与最小多项式的性质与应用文献综述

文献综述

（一）课题研究的现状及发展趋势

在高等代数教材中，对矩阵特征多项式与最小多项式的概念和求法都有阐述和涉及，但是对矩阵特征多项式与最小多项式的性质讨论较少，更没有相关的应用。但是，矩阵的特征多项式有非常好的性质，比如哈密尔顿——凯莱定理：设n阶方阵A的特征多项式为

则A的多项式为零矩阵，即

也就是说，该定理保证了矩阵的特征多项式是零化多项式，所以很多矩阵计算的化简都可以利用其特征多项式来进行，使得我们的矩阵计算变得相对简便了很多。

文献[2]通过讨论正交矩阵的特征多项式及特征根的一些性质，取得了一些较好的结果，并且利用方阵和正交矩阵已有的一些性质，获得了关于n阶正交矩阵和2阶正交矩阵的几个有意义的结果。设矩阵A为n阶矩阵：如果n为奇数，且,则A一定有特征根1；如果n为奇数，且，则A一定有特征根；如果n为偶数，且，则为A的特征根，并给出了相关证明。

文献[4]对随机矩阵理论中各种系综的随机矩阵特征多项式的相关函数进行了研究，对随机矩阵特征多项式的系综均值对于预测数论中Riemann-函数的矩和其他的L-函数非常有用，并证明了谱行列式也和组合数学中一些有意义的问题相关，并做了相关的数值计算。

文献[8]与文献[10]就矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程的应用，总结了最小多项式的若干结论，包括它们的性质、求法以及相关应用。特别地根据不变因子与最小多项式的关系、不变因子与初等因子的关系，提出了用不变因子求最小多项式的方法，举例说明用矩阵的最小多项式解决某些问题的有效性。