椭圆曲线和相关问题的研究文献综述

1. 文献综述（或调研报告）：

椭圆曲线的秩一直是椭圆曲线研究中最重要的问题之一，下面对椭圆曲线秩的几个相关问题做了一些考察：

3.1 计算Mordell-Weil群

代数域上的椭圆曲线椭圆曲线上点构成一个有限生成的abel群，这个群称为Mordell-Weil群，椭圆曲线的秩定义为这个群的秩。那么，考察椭圆曲线秩最直接的方法就是直接求出曲线的Mordell-Weil群。

在Q上计算Mordell-Weil群常用的一种方法就是使用2同源下降法（见[1]）。这种证明性方法只可以计算得到曲线的2-selmer群。然而，在很多情况下曲线的shafarevich群中不存在2-纽点，所以E(Q)/2E(Q)能与2-selmer群同构，由此可以很容易地导出E(Q)的秩。

如果要在数域K上推广2同源下降法，[2]给出了一种在具体实二次域上的间接计算法，而在[3]的方法中去除了一些对K的限定，考虑了一些在K上没有2-扭点的椭圆曲线。这些方法的基础可以在[4]和[5]中看到。[3]中的方法主要是[6]中四次曲线不变量加法的直接结论，其中新包含了求解Legendre方程的内容，这个方法简化了一些构造在一般数域上的四次曲线，还精简了整个方法。

3.2 Heegner点与同余数问题

和直接计算Mordell-Weil群不同的是，Heegner点并没有计算出椭圆曲线的秩，但是它保证了曲线的秩大于零，在一些相关问题上已经足够了。

首先，谈论Heegner点就不得不提到复乘，最早总结了相关内容的书籍是Weber的一本代数教材[7]，这个理论被视为类域论的起源。对虚二次域，并且，我们可以找到整数A,B,C，使得本原多项式，令，存在一个模函数j使得是一个代数整数，且令，由复乘理论可知与的类数是相等的，我们可以找到的理想类群和Galois群的一个对应。