关于美式期权的定价方法: 案例研究外文翻译资料

关于美式期权的定价方法: 案例研究

原文作者 Burcu Aydoğan， Uuml;mit Aksoy amp; Ouml;muuml;r Uğur

摘要：在这项研究中，对美式期权定价的数值方法和近似方法进行了比较分析。讨论了二项式近似和有限差分近似，给出了 Roll-Geske-Whaley、 Barone-Adesi、 Whaley 和

Bjerksund-Stensland的解析近似以及 Longstaff 和 Schwartz 的最小二乘蒙特卡罗方法。在几乎所有情况下的适用性和效率，强调相应的自由边界问题的数值解。对美式期权定价的方法也进行了红利和非红利支付资产的比较，并结合数值实验讨论了它们的利弊。

关键词：美式期权； 数值方法； 解析近似；边界

1. 初步介绍

美式期权是所有交易期权的广泛变体，在许多重要的金融市场中都可以找到，因此这种衍生品的估值是金融数学中一个具有挑战性的问题。与欧式期权不同，美式期 权没有封闭形式的分析解决方案，而且由于早期运用的特点，找到价格变得更加困 难。为了解决这个问题，近年来，计算近似方法作为一种自然而然的方法成为一个 热门和有成效的研究领域。

关于美国式或有索赔的文献已有很长时间的历史，而且非常丰富；已经发展了各种各样的数值方法和技术。作为一项早期工作，美式期权定价最常用的方法是二项式模型和有限差分技术。Cox等人(1979)发展的二项式树引导了一个成功而简单的模型，该模型使用格子来表示 期权的潜在资产遵循几何布朗运动的未来可能性。Boyle (1988)然后将基本方法扩展到两个潜在的状态变量。以 Black-Scholes 偏微分方程为基础的有限差分模型首先由Brennan和Schwartz (1978)作为显式方法引入，然后由Courtadon (1982)利用向后和中心差分近似提出。Schwartz和Brennan 研究了由正向差分近似形成的隐式方法(Brennan和Schwartz 1978；Courtadon 1982； Schwartz 1977)。Crank和Nicolson (1947)提出的方法建议将显式和隐式方法结合起来，以提高结果的准确性。Cryer (1971)实现的投影逐次过松弛(PSOR)方法被用来迭代地解决美式期权的问题。

另一方面，Roll (1977) ，Geske (1979,1981) 和Whaley (1981)导出了离散除法情形 的解析近似解。Bjerksund 和 Stensland (1992,1993,2002)通过假设平坦的早期实践边界的有效近似解决了这个问题，Barone-Adesi 和 Whaley (1987)引入了二次近似。此外， Longstaff 和 Schwartz (2001)实现了一个路径近似，使用多项式的最小二乘回归。

1.1美式期权的一般估值问题

在无风险利率 r 的完全市场下，我们考虑标的资产的价格如下,

S_t = S₀ exp{（r - sigma;² ）_＋sigma;W _t}, t ge; 0,

在等价鞅测度下的几何布朗运动，sigma; 是资产的波动性，Wt 是标准布朗运动。在这里，S₀ 代表资产的当前价格 t = 0。或有索赔的价值可以表示为期望贴现收益，其中期望是相对于等价的鞅测度。

考虑一个到期日T和执行价格K的美式看涨期权。对于由停止时间 tau; isin;[0，T ]表示的给定可行的锻炼策略，期权值可以写为

C _A = E _Q [ e ^minus;rtau; (S _tau; minus; K) ]

其中 Q是等价的鞅测度。那么，美式看涨期权的价值是由

C _A := C _Q (S₀ ，K，T，r，sigma; ² ) = sup_{（tau;isin;[0,T]）} E _Q [e ^minus;rtau; (S_tau; minus; K) ] . (1)

简要描述了美式期权的定价问题，本文的组织方式如下: 第二节总结了现有的方 法和它们的一些性质，并回顾了美式期权价格的界。通过在第三节中提供的例子来比较这些被评估的模型。第 4 部分讨论了作为本文结论的方法的效率和适用性。

2．数值和近似方法的简要回顾

在文献中，已经提出了一些方法来数值解决美式期权的估值问题。其中之一是二项 式方法，由于其简单性和灵活性，被实践者和学术界广泛使用。其他众所周知的方法包括对应的偏微分方程的有限差分近似，解析近似方法，以及对美式期权定价的最小二乘蒙特卡罗近似。在接下来的文章中，我们将简要回顾这些方法。

2.1 二项式方法

二项式模型是描述随机资产价格动态的方法之一，用于解决美式期权的一般估值问题。 该模型是一个非常有用的模型，由于其易于实现，被广泛应用于股票期权的定价。简单二叉树的多周期版本比单周期二叉树模型的计算更精确，因为现在可以考虑更多的收益值。知道了零时的股票价格 S₀，我们通过以下方法来表示(等距)周期和时空离散化

delta;_t =， t _i = t ₀ idelta; _t ，S _i = S _{t i} ，for i = 0，1，...， M，

其中 M是时间周期(或步数)的数目，T是到期的时间，S_i 是时间 t_i 的资产价格。很明显，在 t = t_i 时，树中有 i 1 个节点，然后股票价格的值可以表示为

S _ji = S ₀ u^j d ^iminus;j ,

对于每个 i = 0,1，... ，M 和 j = 0,1，... ，i；乘数 u 和 d 的选择将在续集中定义。

表示每个节点上选项的值

V _ji := V(S _ji ,t _i ),

例如，对于一种无股息支付的资产，美式期权的价值可以很容易地计算为

V^A_ji = max{ e ^{minus;r delta;t} [pV ^A_{j 1，i 1} (1 minus; p)V^A _{j,i 1}]，Lambda;(S _{j i} ) , (2)

其中Lambda;(S_{j i})是在时间t_i的节点S _{j i}上期权的固有收益，p是(风险中性)潜在概率:

p =( e ^{rdelta; t} – d) / (u – d) (3)

另一方面，对于支付股息的离散资产，人们可以认为(2)是价格略有变化的: 当标的资产在任何时候对于某个 k 支付股息 D时，股票价格降低了 D 的数额，如下所示:

S _jk = S ₀ u^j d ^kminus;j – D，for every j = 0，1，...，k. （4）

在除息日 t 之后，由于二叉树的内部节点不重合，节点的数目将大于通常二叉树的节点数目。在这种情况下，找到期权的价格变得困难和耗时。这种复杂性是可以处理的。利用 Black (1975)提出的所谓托管股利模型，对现行股票价格 S₀ 进行了 S₀ - e^-rt D调整。这种调整是为了在 t 之前的任何时间找到期权的价值; t 之后，不需要调整，参见 Gilli 和 Schumann (2009) ，Kwok (2008)。

最后，对于连续派息支付标的资产，公式(2)仍然有效，但在这种情况下，有一个

p =（e ^{(rminus;q)delta; t} – d）/ (u-d)

对于二叉树中的每个周期，其中 q 是连续的红利收益率。在这个方程或(3)中，选择

参数 u 和 d 的方法有很多种: 因此，我们引用了最实用的，但近似的方法,

u = e ^{sigma;radic;delta;t} 和 d = e ^{-sigma;radic;delta;t},

Cox 等人(1979)提出的，也满足 ud = 1 的条件。

2.2 有限差分的方法

有限差分方法的思想，顾名思义，是用(足够光滑)函数的泰勒级数展开导出的(有限差分)近似来逼近 Black-Scholes 偏微分方程的偏导数。

然而，与欧式期权不同，美式期权的定价问题是一个自由边界问题。例如，对于美国的 put 问题，必须处理以下自由边界问题: 在每个实例 t 中，域被划分为两个不同的区域;

参见图 1a，修改自U˘ gur (2009)。在第一个地区，当0 le; S lt; S f (t)，早期运动是最佳的，Sf (t)是一个联系点，表明是否值得持有(或行使)该选择权。在这个地区，我们有

另一方面，第二个区域S f (t) lt; S lt; infin;是指早期运动不是最佳的延续区域。因此，我

们有

图 1 对于典型的普通看跌期权: 美式和欧式期权分别值 P_A (S，t)和 P_E (S，t) ; b 美式期权的练习区和延续区，曲线 S = S f (t)。

这不难表明，条件

保持在自由边界上的点(S _f (t) ，t)处，见图 1b。美式看跌期权的自由边界问题可以表示为线性互补问题，如下所示:

其中Lambda;(s) = max { K-S，0}。注意，这个公式并没有明确地包含自由边界; 然而，在解的同时，自由边界也应该被指定，与线性互补问题相关的是最终条件

P _A (S,T) = Lambda;(S)

和边界条件

统称为期权的边界。

为了用有限差分法求解线性互补问题(8) ，我们首先在St平面的第一象限上构造

网格如下:

其中 ▲t = T/M 和 ▲S = 具有足够大的 Smax / N 值。那么导数用它们的有限差分近似代替，在网格的网格点寻求数值解: W j i asymp; P_A (S _j，ti)。在这里，我们使用theta;平均有限差分格式(Kozpinar 2013; Morton and Mayers 1995; u gur2009) ，它产生以下线性系统(不等式和等式) :

其中，在第十个时间级别 ti，Lambda;j，i = Lambda;(j s)。矩阵的条目可以很容易地计算给出

实际上，线性互补问题(9)等价于

因此

因此，形式上可以将时间 t = t_i-1的解矢量写为

因此，在 i = M - 1，M - 2，. . ，0 的每个时间水平上，只用直接方法或预测逐次过松弛(PSOR)方法 Cryer (1971)递推求解该问题，从而得到所有网格点(Sj，ti)的近似解wj,i。整个近似曲面 w (S，t)可以通过在感兴趣的领域上的插值技术来构造。

2.3 近似方法: 闭式公式

除了格子法和有限差分法外，解析近似法还被用来给美式期权定价，以得到一个封闭形

式的公式。尽管数值方法相当简单和灵活，但它们被认为是最耗时的方法。另一方面，近似方法也可以为美式期权提供足够精确和计算有效的解决方案，只要它们是适用的，因为它们是基于相应的欧式期权的 Black-Scholes 公式。

2.3.1 Roll-Geske-Whaley (RGW) 方法

Geske (1979,1981) ，Roll (1977)和 Whaley (1981)推导了一个基于 Black-Scholes 设置的模型，其中标的资产在美式期权的有效期内只支付一次

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