通过两个教学环境进入负数外文翻译资料

通过两个教学环境进入负数

Jana Slezaacute;kovaacute;,Milan Hejnyacute;,Jaroslava Kloboučkovaacute; 布拉格查尔斯大学，雷蒂戈维4学博士学位，布拉格，116 39，捷克共和国

摘要：早期的数字感是建立在孩子日常生活的体验中。一个数字可以表示为状态（5个苹果）、地址（5 楼）、比较操作（Mike 比 Tom 高 2 厘米）和更改操作（我损失了 5 欧元）。这项研究提供了教学环境，使年轻学生获得丰富的经验，并打开了理解负数的大门。在论文中，我们描述了学生如何通过Stepping和Staircase的教学环境获得实践经验。这些经验进一步提高了它们解决动态问题的有效性。

关键词：心理模式；前后行走的教学环境；走楼梯的教学环境；机会；动态问题；作为状态的、地址的、操作的数字

1.介绍

在过去的六年里，布拉格的一个数学教学领域专家研究小组研究并阐述了一种被称为面向教育的教学方法。这种方法的主要思想是让学生到特定的数学教学环境中解决已经存在的问题。通过讨论和解决问题，学生在意识中创造了一个特定环境的图示。这个图式由各种不同的数学思想组成。几个这样的图式的相互联系导致了数学知识的构建。详情请参见Hejnyacute;(2012)。这项研究呈现了两个密切相关的环境：Stepping和Staircase。

2.方法

在一项纵向研究中，创建了一系列Wittman(2001)意义上的教学环境，并建立了一个大型的课程协议、录像记录和书面数据库，该数据库被不断地审查、分析和分类。调查的重点是了解小学生问题解决过程的认知机制。针对6至12岁学生的任务和问题被反复修改。长期的数据来自三个教室。

3.Stepping和Staircase教学环境的描述

3.1.Stepping教学环境

Stepping教学环境可以分为几个阶段进行简要的介绍。

3.1.1.引入期——命令的发生和实践

这个环境使用了自然的有节奏的步伐运动。首先，教师自己向学生演示如何迈步，例如，迈步四步，数一、二、三、四步，以此作为步速的标志。然后邀请学生加入老师的行列，和老师一起先数数再迈步。在迈步这一阶段，以下是相互关联的：数字（它们的声学形式）、声学节奏（数数、拍手、讲押韵）和动作节奏（迈步和拍手）。这种节奏的同步在掌握计数算法中起着至关重要的作用，是算术思维的基础。

在迈步时，学生会熟悉数字的语义模型。数字由步数表示，即它是一个数量。迈步是运动，即数字的模型是过程的。运动导致变化，即数字具有变化操作的角色。一旦学生按照指令完成了迈步，对步数的感知（听觉、视觉、动觉）就会消失。因此，数字模型是暂时的。

3.1.2.第一阶段——分布命令

两个学生，亚当(Adam)和伊娃(Eva)，站在台阶条纹旁边（图1）。老师说：“当亚当走上台阶时拍手，全班同学数数。亚当，向前走三步，然后向前走两步，现在就开始！”然后老师问全班同学：“谁能命令伊娃，让她再次站在亚当旁边？”学生的回答是：“伊娃，向前走五步，现在开始！”

3.1.3.第二阶段——后退与负数

我们通过一步一步地后退，丰富了Stepping教学环境。这一次亚当对应的命令是：向前两步，向后三步，现在开始！伊娃对应的命令是：后退一步。通过这种方式，学生被引入负数的语义模型。退一步是数字-1的一种表示，学生们将在一两年后学习到这一点。

在Stepping环境中，操作不是建立在任何状态或地址上的——当学生试图解决某些应用题时，这种联系通常会导致混淆。当一个二年级学生被要求考虑情况时，6人下车，7人上车，他们可能会吃惊地问公共汽车上有多少人。操作的变化指向两个虚拟的数字：更改前的状态和更改后的状态。步进环境应该帮助学生理解，在解决上述问题时，没有必要知道起始和结束的状态。

3.1.4.第三阶段——记录

指令的数量最终变得如此之多，以至于无法记忆。所以保存记录的需要自然而然地产生了。通过与全班同学的讨论，得出了使用箭头符号的想法。例如，“两部分命令向前三步，向后两步，现在开始！”这一指令，具体表述如：箭头的引入削弱了所用数字的临时模型。用记录的概念探讨了迈步的过程。

3.1.5.第四阶段——方程的介绍

亚当和伊娃站在一起。老师指挥：“伊娃，向前走四步，现在开始！”伊娃开始走。然后，老师给出指挥的第一部分，“亚当，向前走三步”，并用手势示意全班完成指令的第二部分。这种情况用箭头的表示如下：

“步骤方程式”变得越来越复杂，例如：“亚当，后退两步，前进四步，后退三步和后退一步，现在开始！”接着是另一个不完整的命令：“亚当，向前三步，向后两步，hellip;hellip;！”接着，学生们补充说：“后退三步。”后来的学生解决用箭头表示的问题，例如：

3.1.6.第五阶段——用箭头表示方程式以及含有两个未知数的方程

学生求解箭头方程，如：只需使用三个箭头即可找到所有可能的解决方案。这已经是一个由两个线性方程组和两个未知数组成的系统。在标准数学符号中，这些箭头方程式将记录为：因此，这是学生第一次体验绝对值的概念。

3.1.7.第六阶段——数字符号

将箭头表示的问题转化为数字并解决它。通过单步执行进行验证。

箭头符号连续连接到数字符号。然而，这一点将成为下一阶段的关键。

3.1.8.第七阶段——反复思考

将箭头表示的问题转化为数字并解决它。通过单步执行进行验证。

这相当于口头命令：“向前走四步，转身，向前走三步，后退一步，转身，现在开始！”对另一个学生的简化命令是：“向前走两步，现在开始！”“转弯”命令表示括号前面的负号。

这一阶段或多或少结束了小学阶段的环境建设。它为学生提供了括号前带负号表达式的求值工具，以及解决初中阶段将遇到的线性方程组的策略。他们掌握了负数向后退一步的语义模型和数的绝对值作为步数的模型，而且不用考虑他们的方向。如果我们寻找一个方程的所有解，这种环境还提供了一种可能，使我们能够短暂地进入组合数学的世界，或者，如果我们掷骰子，使我们能够了解概率，如果我们记录掷骰子的次数，使我们能够了解统计。

我们注意到，在一些学校，接受了传统教学的六年级和七年级学生（12岁和13岁），他们从年轻的同学那里学会了这种分步教学法，并作为理解负数和负数运算的工具。

3.2.Staircase教学环境

在Stepping环境中，数字仅代表一个运算符。这里的情况变得更加丰富，因为我们添加了数字作为地址的概念。我们在多层建筑、温度计、电梯等问题上也发现了类似的情况。

Stepping环境和通过环境的变化的Staircase环境是类似的：迈步线变成了数字线。与此同时，符号记录也发生了变化，比如这个问题：“亚当站在第2步，向前走了3步。他现在站在什么台阶上？”记录为：

4.应用Stepping环境和Staircase环境

这两种环境都已成功实现并应用于数学的其他领域，如组合数学、概率论、统计学，主要用于解决应用题。尤其是涉及动态因素的应用题，对于有Staircase环境经验的学生来说，成功率明显更高。

动态问题是时间起决定性作用的问题。例如，涉及骑车人和行人会面的问题、游泳池的注满问题或年龄问题。我们将在一个特定的问题解决过程中说明这个想法。

问题1：伊娃三岁了。当她和现在的亚当一样大的时候，亚当就15岁了。亚当今年多大了？

汤姆（13岁）的解决方案：

Xhellip;hellip;亚当现在的年龄

yhellip;hellip;当亚当15岁时（y=15）

3hellip;hellip;伊娃现在的年龄

15-3=12

亚当现在12 岁。

在汤姆的解决方案中，我们可以注意到他缺乏对问题的理解；并且他无法用字母和关系来表达这个问题。他失败的原因是无法区分动态问题中的不变量：经过的时间对于每个人来说都是相同的。如果汤姆明白了这个不变量，他就会清楚地看到，伊娃和亚当从“现在”到“那时”的时间是一样的。那么x-3=15-x。这种对动态问题的概念性理解对于许多初中学生来说是相当具有挑战性的。

维基（9岁）的解决方案：

维基，他扮演了舞台导演的角色，在课堂上展示了这个问题。她任命了一名评论员和四名演员：伊娃、亚当、答案和时间之神克洛诺斯。在地板上，她放置了一个标有3到15的数字（可能的楼梯模型之一）的踏步条。她将伊娃排在第三位（伊娃3岁）。现在维基试着猜亚当多大了。她选择了7号。她将亚当和答案放在踏板上的7号位置。答案在整个草图期间是一直保持不动的。维基给了克洛诺斯一个开始的信号。克洛诺斯命令：“现在一年过去了。”听到这些，伊娃和亚当朝着各自的数字标志前进了一步。评论员报道：“伊娃现在4岁，亚当8岁。”这个过程又重复了三次，直到评论员报告说“伊娃现在7岁了，我们结束了”。但是亚当现在只有11岁，这个答案没有解决这个问题。在整个表演过程中，一些学生已经意识到选择7号并不正确，于是主动提出尝试9号。第二场展示，现在将亚当和答案定位为数字9，最终证明了9是正确的答案。最后，评论员总结道：“现在伊娃9岁，亚当15岁，我们结束了，问题解决了。”

演出结束后不久，紧接着出现了几个类似的问题，老师建议再任命一名抄写员，将评论员所说的一切都写在黑板上。这样，上述问题的成功解决方案将由完整的表（图2）表示。

填写这些表格，一些学生会发现第一列和最后一列的重要性。在接下来的几个类似问题中，这些学生去掉了不必要的列，并创建了初始表的简短版本（图3）。他们还将通过插入一个等号（如图4所示）来记录伊娃将和亚当同样年龄的情况。如果我们现在为伊娃插入字母x（x-3），为亚当插入字母x（15-x），则会发现如上所述的所需方程式。接着，我们可以利用亚当和伊娃之间的年龄差异是不变的这一基本事实，即“今天”（x-3）的差异与“当时”（15-x）的差异相同，找到相等的方程。

让我们更仔细地看一看学生头脑中发生的认知过程：在第一阶段，动态情景由戏剧化的行为模拟，实施试错策略。当演员的动作重复几次时，学生的意识中就产生了两个不同物体的动态时间模式。学生们反复观察在解决动力学问题中起关键性作用的两个基本不变量：伊娃和亚当之间的距离保持不变，伊娃从开始到结束所走的步数与亚当所走的步数相同。当流程被记录时，概念化就开始了。表1并没有改变，学生甚至可以倒读，或者跳过列和行，这样的过程将帮助一些学生进行关键条件的发现。在这个问题中，只有第一列和最后一列是必需的。因此，简化表是一个概念，它可以很容易地将代数方程概念化。总之，引导学生获得上述知识的主要工具是从过程理解到概念理解的转变。Hejnyacute;（1999）将这种现象称为认知转移，这是根据Gray和Tall（1994）中描述的认知转移概念。

我们的团队为12至18岁的学生精心设计了上述两种环境。

外文文献出处：Procedia-Social and Behavioral Sciences,2013,93.

附外文文献原文

Entrance to negative number via two didactical environments

Jana Slezaacute;kovaacute;,Milan Hejnyacute;,Jaroslava Kloboučkovaacute;

Charles University in Prague,M.D.Rettigove 4,Prague,116 39,Czech Republic

Abstract

Early number sense is built within childs everyday life experience.A number is represented as a state (5 apples), address (5th floor), operator of comparison (Mike is 2 cm taller than Tom) and operator of change (I lost 5 Euros). This study presents didactical environments that enable young pupils to gain ample experience with a number as an operator that opens the doors to the understanding negative numbers. In the paper we describe how pupils gain experience with operators through the didactical environments of Stepping and Staircase. Such experience further enhances their effectiveness in solving of dynamic word problems.

copy; 2013 The Authors. Published by Elsevier Ltd. Open access under CC BY-NC-ND license. Selection and peer review under responsibility of Prof. Dr. Ferhan Odabaşı

Keywords:mental schema;didactical environment S

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负数的正面体验：基于学生的校内校外体验

Beswick, Kim 塔斯马尼亚塔斯马尼亚大学，澳大利亚

摘要：引入负数应该意味着数学可以是两倍的乐趣，但不幸的是，他们是许多学生困惑的来源。在从直观理解转向具有负整数和正整数的操作的正式数学表示时，许多学生会遇到困难。本文描述了一系列14名中学生使用的活动。所采取的方法试图弥合学生的直觉、现有的数学知识和最近的经验，以及负整数和正整数运算的数学概念之间的差距。

关键词：数学教育；数学概念；数字；数字概念；概念形成；教学方法；中学生；中学数学；知识水平；计算能力；乘法；算术

负数的引入应该意味着数学可以有两倍的乐趣，但不幸的是，它们是许多学生困惑的根源。正如一位老师所观察到的，“突然间，数学中有这些概念，其中一半的数字是负数，他们不知道这到底是怎么着的hellip;hellip;”

尽管使用负数会给中学生带来困惑，但有证据表明，理解数字小于零的概念并不困难。事实上，国家数学教师委员会（NCTM）（2000年）建议，“3-5年级时，所有学生都应该通过扩展数轴和熟悉的应用程序来探索小于0的数字”。简单的游戏，包括失分以及获得积分或债务经验，可以帮助年幼的孩子相信有可能拥有少于一无所有，并且这些钱小于零。在澳大利亚课程（澳大利亚课程评估和报告管理局（ACARA），2011年）中，虽然从第一年起就提到了数轴模式的延续，并可能导致发现负数，但直到第六年才具体提及。在初中，特别是7年级和8年级，学生需要建立他们的直觉理解，以便使用负数和正整数来表示和比较数量，并将正整数发展的数属性扩展到负整数。

在从直观理解转向具有负整数和正整数的运算形式化数学表示时，许多学生会遇到困难。本文描述了一系列14名中学生使用的活动。所采取的方法试图弥合学生的直觉、现有的数学知识和最近的经验，以及负整数和正整数运算的数学概念之间的差距。这些活动还需要满足参与学生群体的经验和能力的多样性，其中12人来自7/8年级的混合班，另外还有2名5年级学生。老师认为这些学生可能会从额外的数学学习中获益，但是积极性不一定很高。这里描述的课程是一系列每周大约一个半小时的课程的一部分，在11周的学期中进行，由作者与7/8年级的一名教师共同计划和实施。

Linchevski和Williams（1999）指出，在课堂上建立的用于数学理解的有效情境必须是学生熟悉的，并且必须以真实的形式转移到课堂情境中。同时，他们也承认，教室是独一无二的，因为教师和学生都期望学习数学是活动的首要目的。可以说，在课堂上唤起完全真实的非课堂体验是不可能的。然而，教师面临的挑战是尽可能有意义地利用学生现有的知识和直觉。

熟悉的环境

学校建立的更广阔的社区，给学生们的生活提供了一系列的环境，并且有助于激发他们对小于零的数字的最初思考。这些是：

1.负温度：学生们熟悉0°C以下的温度。图1所示的照片拍摄于气候寒冷的地方，学生们能够在所示温度计刻度上找到熟悉的零上和零下温度。

2.海平面：岛屿位置使这成为一个容易被学生接受的环境。大多数学生熟悉海平面以上的高度（一些学生回忆了在该州道路上张贴的特定示例），并且可以在钓鱼和潜水的环境中设想海平面以下的深度。

3.债务：许多学生都知道诸如“赤字”之类的短语指的是债务，所有学生都知道信用卡，并且知道银行余额可以低于0美元。

4.地下矿山水平：地下采矿是该州的一个主要行业，因此，在该州教授这些课程，学生对于将地面水平视为参考点或“零”比较熟悉。图2所示的照片不是本地拍摄的，但学生可以将其与以往经验联系起来加以理解。

可能与其他学生相关的内容包括高尔夫球得分和BC时间。尽管这组学生对这些背景有一定的了解，但他们与这些背景的共鸣程度不及上述四种情境。

数轴

虽然我们知道其他的方法可以带来特殊的好处，但我们还是决定使用数轴作为课程的基础，因为(1)上面描述的大多数内容都是以类似数轴的方式表示的，(2)在负数之前的课程已经涉及到与有理数运算有关的数轴。因此，数轴是一个能很好地与学生校外经历联系起来的模型，在数学课程的背景下他们也很熟悉这个模型。

在数学教室里，数轴通常是水平表示的，但在上面讨论的四种情境中，至少有三种(即1、2和4)最自然地适合垂直数轴。在教室墙壁或白板上显示时，水平数轴在将整个长度放置在伸手可及范围内这一方面具有优势，而在地板或人行道上标记的或在纸上绘制的垂直数轴，可能更能唤起学生熟悉的情境。我们选择使用水平数轴是因为墙壁或白板上展示数轴很方便，而且学生们在最近的数学课上已经非常熟悉水平数轴了。

数字的数轴形式可能是不明确的，因为数字在线上的某一点上具有特定位置，也可以被视为长度，即距离零的距离。与我们一起工作的学生花了很多时间思考有理数在数轴上的位置，并将“大”概念化为更靠右的位置。他们还参与了一些任务，这些任务涉及识别给定段之间的数字，以建立他们对数轴密度的理解（即，在数轴的任何给定段中都有无限多的数字）。与这些将数字视为数轴上的点的活动不同，他们还使用数轴长度模型对有理数进行运算，例如，通过建模4times;如图3所示。

在数轴上表示不同

在考虑了学生遇到小于零的数字情况后，我们简要回顾了最近的数轴工作。为此，在白板上画了一条数轴，“0”大约中间。这与之前的课程相比是一个小变化，在之前的课程中，正数是重点，“0”被放在靠近线的左端，学生们很容易接受。随后提出了以下问题：

在某个地方，最低温度为3°C，最高温度为10°C。最高和最低温度之间差多少？

在数轴上表示出来。

用一个算式表示出他们之间的差。

虽然所涉及的计算很简单，但任务是将减法运算与数轴和两种温度之差的符号表示联系起来，即10–3=7。学生们重复这个练习，其他对的温度也相隔7度。其中包括0°C和7°C、–2°C和5°C，和–4°C和3°C。学生们能够提出许多其他建议，并意识到存在着无限多对温差为7°C的温度。这组问题旨在加强对加法和减法之间关系的正整数的理解，并将其扩展到负整数。此外，我们希望巩固学生的减法概念，即找出一个可以位于数轴上任何位置的差。我们相信，这种减法概念与数轴的强烈视觉图像相结合，将有助于思考涉及零两侧数字的减法。

负数和正数的运算

由于学生最近的经验，负整数、正整数的加法和减法的明确教学应建立在学生对已学正数形成的现有理解的基础上。也就是说，（正数）可以看作是到零右边的距离。那么，加法是正向运动，减法是反向运动。正负数运算的结果就是由第一个数字开始到第二个数字结束的距离表示的数字。

与学生直觉上合理的想法一致，负数被视为与正数方向相反的距离，即向左。学生们能够理解并清楚地说明这是有意义的，例如，减去或去掉负温度将等于增加温度（例如，摇篮山夜间最低温度为-5˚C。奥萨山夜间最低温度为-8˚C。摇篮山比奥萨山温暖多少？）。在将模型正式化或指定任何特定表示之前，我们向学生提出了以下一系列问题：

a.电梯在三楼。一个男人进来了，想走到比那高五层楼的地方。他要去哪一层？

b.我钱包里有3美元。我姐姐提醒我我欠她5美元。我的总收支是多少？

c.温度为-6℃。如果温度升高2℃，温度会是多少？

d.我有5个手镯，但是后来我弄丢了2个。我现在有多少？

e.大坝的水位比正常水位低5厘米（正常水位为0）。由于天气炎热，它又下降了2厘米。现在大坝的水位是多少？

f.我欠我弟弟7个果冻豆。他决定我不需要偿还其中的4个。我现在欠多少果冻豆？

我们希望，在解决问题的过程中，包括如何展示他们是如何找到解决方案的，学生们能够将他们现有的课内课外经验与数轴和小于零的数字联系起来。

图4显示了贝拉（8年级）如何使用数轴来表示她解决这些问题的过程。她正确地计算了每个问题的答案，但并不总是写一个算式来匹配她的答案。她很可能在试图制作数轴表示法之前，通过对情境的直观理解来回答问题。对于问题c，她写的算式是6°–2°=4°，表明她考虑的是温度变化，而不是涉及的特定数字。然而，她能够将2°的增量正确地放在数轴上，并将正确的答案识别为–4°。

贝拉关于问题e的算式是不正确的，尽管她的答案（–7）是正确的。但她似乎将“低于”和“下降”都理解为负数，并且将运算表示为减法。这是这些问题中操作和符号并置的唯一例子，小组中的其他学生也很少这样使用。在绝大多数情况下，学生通过理解问题中正整数的加减情况来避免使用负数。除了问题e，贝拉的数轴表示法都从计算中第一个数字所指示的位置开始。也就是说，她将此数字视为数轴上的一个点，并将此操作视为移动。

在随后的课程中，正数运算的数轴模型被更正式地扩展到负数，特别是为了解决学生在并列运算和正负号方面的困难。该模型可以简明扼要地描述为：正数表示到右边的距离，负数表示到左边的距离，加法向前移动，减法向后移动。结果是从第一个数字的开始到第二个数字的结束的距离，移动的方向决定了它的符号：向右为正，向左为负。图5显示了如何使用该模型表示一系列计算。这些图表遵循Van de Walle（2004）描述的惯例，他还说明了学生如何使用这些图表的简单版本。

我们很少要求学生绘制图表，而是让学生在白板上画数轴或在地板上标记出数轴，从而在数轴上表示出他们的解决方案。学生们更愿意用第二种方式（即在地板上标记数轴）建模，而不是用笔和纸。正数时，他们面向右边；负数时，他们面向左边。加法意味着向前走；减法意味着向后走。学生们很快就不需要这样做了，因为他们能够用数轴上的步骤来表达自己的想法了，当然偶尔也会站起来检查自己的想法。

学生们也很快注意到，两个不同的符号相邻，分别相当于减法和加法。也就是说，他们掌握了负数和正数的加法和减法的规则，并且熟练地使用了这些规则。然而，重要的是，这些规则是以有意义的经历为基础并与之联系在一起的，学生们有思考问题的策略，当他们不确定的时候，他们可以回想之前的经历。

乘除

任何数字与整数的乘法都可以建模为重复的加法。然而，对于两个非整数的乘法，这种思维方式是没有帮助的，我们意识到学生需要将乘法理解为不同于加法的运算（Siemon amp; Breed，2006）。然而，由于学生们习惯于重复的加法（如图3所示），我们维持了这个涉及正整数和负整数的乘法模型。因此，正数乘正数被建模为向右重复的步骤，从而产生正数的结果；正数乘负数作为向左重复的步骤，从而产生负数的结果；一个负数乘一个负数，作为面向左边的重复后退步骤，导致到零的右边的距离，因此得到一个正数的结果。

利用对除法的理解，在计算整数除法时，可以将乘法和除法之间的关系联系起来。也就是说，像6divide;2这样的表达式可以理解为“多少个2等于6”，并通过计算从0到 6所需的 2移动次数来回答。因为这些移动是向前的，所以结果是正的。将一个负数除以一个正数意味着找出从0到0的左边位置需要多少次的移动。因为动作需要向后，所以答案是负的。将正数除以负数，需要向后进行左向移动，因此结果为负数。最后，将一个负数除以一个负数就是询问需要做多少次左向移动才能到达0的左侧位置。这些行动将是向前的，因此结果是正的。图6显示了每种可能性的示例。

当然，存在一种危害，即这些表征的规则可以简单地学习和机械地遵循，就像传统的“同号得正”和“异号得负”一样。要想从中有所收获，必须不断要求学生阐明他们的计算过程，并证明他们的解决方案是正确的。之后，我们发现数轴模型不太明显，因此在乘法和除法的情况下使用数轴不如加法和减法的情况下有用。

一些附加的问题

我们为学生们提供的两项相当具有挑战性的任务是：

1.使用4，-2和任何您喜欢的操作，编写算式，尽可能多地等于1到20之间的整数。有些可能是不行的。

2.将-15、-12、-9、-6、-3、0、3、6和9这些数字填入表格，使每一行、每一列和每一对角线的总和相同。

学生们似乎很喜欢第一项任务，而这项任务是开放的，这意味着所有人都可以参与其中。当然，数字和运算可以无限变化，以适应学生的需要和能力。由于第2题特别具有挑战性，一些学生在课余时间完成了这项工作，部分学生则不太愿意坚持下去。

下面所示的任务是期末评估的一部分。完成这些任务，学生需要了解运算的顺序以及整数的运算规律。14名学生中有9人成功地完成了测试，或者只是犯了一个小错误，通常是通过插入括号来订正。

有一个班的学生被要求使用三个运算和至少一个负数来编写结果是4的算式。下面是他们写的一些算式：

1.上述哪一个等式是正确的？

2.如果加上括号，一些不正确的算式将是正确的。用所需的括号重写这些算式，使其等于4。

对所花时间的反思

所提供的任务和使用的方法成功地让学生了解了负数的概念和负数的运算。学生们在经验的基础上有很强的直觉，他们可以从中吸取教训。尽管学生们在计算负整数和正整数时变得非常熟练，但我们不愿意将其作为该方法成功与否的衡量标准。因为，正如Van de Walle（2004）所指出的那样，通过简单地提供标准规则而没有理由或其概念意义，也可以更容易地实现这一目标。我们还意识到Linchevski和Williams（1999）的观察结果，即模型及其使用规则可能毫无道理，毫无意义。与其他主题相比，教授负数可能更能突出这一困境，因为传统规则的制定速度与以概念发展为目标的方法在程序效率方面的对比是如此之大。此外，这是一个与概

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