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扭矩

引言和基本理论

围绕构件纵轴作用的力矩称为扭转力矩，扭矩或扭转力矩T。在结构中，扭转是由梁的偏心载荷引起的，如图7-21所示（将在后面进行讨论） 如图7-22所示（也将在后面讨论），或者是由于梁或类似构件以一定角度相互连接而产生的连续变形所致。

在未破裂的构件中由于扭转而产生的剪应力

坚实的成员

在受到扭转的构件中，扭转力矩在从构件的轴线延伸至表面的横截面和径向平面上引起剪切应力。 图7-1所示的单元受到施加的转矩T的剪切力t的应力。在圆形构件中，杆的轴线处的剪切应力为零，而在杆件的轴向上，应力线性增大至最大应力。 如图7-2a所示。 在矩形棒中，剪切应力从中心的零变化到长边中心的最大值。 如图7-2b所示，在方棒的周长周围，剪应力从拐角处的零变化到每侧中心处的最大应力。

剪切应力在横截面上的分布可以通过使用皂膜类比来可视化。 充气膜的斜率方程类似于扭转引起的剪切应力方程。 因此，剪切应力的分布可以通过在板上剪切与扭转载荷横截面的形状成比例的开口，在该开口上拉伸膜或肥皂膜并给膜充气来可视化。 图7-3显示了圆形开口上方的充气膜，该圆形开口表示圆形轴。 膜中每个点的斜率与该点的剪切应力成正比。 剪应力垂直于切线的方向。 该线与图7-3中点A处的斜率相切。 沿直径穿过膜的截面是抛物线形的。 其斜率从中心的零到边缘的最大值线性变化，与图7-2a中绘制的应力分布相同。 图7-4显示了正方形开口上的隔膜。 此处，径向线的斜率对应于图7-2b中所示的应力分布。 图7-5a显示了由一系列矩形组成的类似的U形横截面膜。 相应的应力分布如图7-5b所示。

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固定端

图7-1

扭剪应力

图7-2

圆杆和方杆中的扭剪应力分布。

圆棒中的应力分布 方格中的应力布分

A

A

肥皂膜

A处的表面坡度

图 7-3

类比肥皂膜：圆棒。

在板上切圆孔

对于具有连续壁的空心构件，该膜覆盖整个截面形状，并且类似于图7-3或7-4，不同之处在于空心部分内部的区域由具有 孔。

扭转力矩与膜下的体积成正比。 图和图的比较。 图7-4和7-5a表明，对于对应于最大剪切应力的给定斜率，实心部分或全空心部分下的体积远大于开口图中的体积。 因此，对于给定的最大剪切应力，实心的矩形截面或完全空心的截面可以传递比敞开截面更高的扭转力矩。

在板上切方孔

图 7-4

类比肥皂膜：方棒

图7-5

类比肥皂膜：U形构件 剪应力分布

弹性圆轴中的最大剪切应力为

其中

(7-1)

= 最大剪切应力

T = 扭转力矩

r = 钢筋半径

J = 极惯性矩,

类似地，矩形弹性轴中的最大剪切应力出现在长边的中心，可以写成

(7-2)

其中x是矩形的较短总体尺寸，y是较长的总体尺寸，而从的0.208（方格）到的0.333不等
（无限宽的平板）[7-1]。 近似为

(7-3)

对于由一系列细矩形组成的横截面，如图7-5所示，

(7-4)

其中项是针对每个组成矩形计算的。

肥皂膜的类比和等式。 （7-1）至（7-4）适用于弹性体。 对于完全塑性的物体，所有点的剪切应力都相同。 因此，肥皂膜的类比必须替换为具有恒定斜率的图形，该图形的斜率恒定在与全塑外壳对应的值，从而产生用于圆形轴的圆锥体或用于方形构件的棱锥。 这样的图形可以通过将沙子倒在具有与横截面相同形状的板上而形成。 这被称为沙堆类比。 对于实心矩形截面，完全塑性剪切应力为

(7-5)

其中从的0.33到的0.5变化。

如肥皂膜和沙堆类比所假定的，未破裂的混凝土构件在扭转中的行为既不是完美的弹性也不是完美的塑性。 然而，基于这些模型中的每一个的解决方案已经成功地用于预测扭转行为。

空心成员

图7-6a显示了一个薄壁管，其连续壁绕其纵轴承受扭矩。 从墙壁上切下的ABCD元素如图7-6b所示。 沿AB和CD侧的壁的厚度分别为和。 所施加的扭矩会在所示元件的侧面产生剪切力，，和，每个均等于该元件侧面的剪切应力乘以侧面的面积。 从，我们发现 =;但是 = 和 =，它们一起给出，其中和分别是作用在AB和CD侧的剪应力。 乘积称为剪切流量q。

为了使较小的元素在图7-6b中的角B处达到平衡，； 类似地，在C处，，如图7-6c和d所示。 因此，在管子周围的点B和C，。 这表明，对于给定的施加扭矩T，剪切流量q在管子的周围是恒定的。 剪切流的单位为（应力times;长度）磅力每英寸（N / mm）。 剪切流的名称类似于绕圆形水槽流动的水。 流经水槽中任何给定点的水量在任何给定时间段都是恒定的。

图7-6e显示了管子的端视图。 作用在壁长ds上的扭剪力为q ds。 从该力到管的质心轴的垂直距离为r，此力围绕轴的力矩为rq ds，其中r是从壁的中平面测量的，因为这是力q ds的作用线 。 围绕周长积分可得出管中的扭矩：

X t1

A

D

B

C

T

t3

A

VDA

VAB

B

VBC

t1

D

V

CD

C

B

t2

• • 1. (b)

(c)

图7-6

薄壁管中的剪应力。 （摘自[7-2] Popov，E。P.，《材料力学》，SI版，2 / ecopy;1978，第80页。
经新泽西州上萨德尔河Prentice Hall许可转载。）

C

t

t4

2

(d)

(e)

Axis

ds

qds

(7-6)

其中1p表示围绕管周长的积分。 但是，q在管的周围是恒定的，因此可以将q移到积分

(7-7）

图7-6e中的阴影三角形的面积为。 因此，等式中的rds。 （7-7）是在周长的基本长度ds和管的轴线之间延伸的阴影三角形面积的两倍。 此外，等于壁厚中心线所包围面积的两倍。 该面积称为被剪切流动路径包围的面积。 对于图7-7所示的横截面，是面积，包括管中心的孔的面积。 式（7-7）变为

(7-8a)

其中 重新排列给出

(7-9)

8 12” 8”

14” 6”

7— 6”

9— 6” 21— 0”

2— 0” 44— 0”

9— 6”

2— 0”

• • • 1. 桥截面.

2 5”

1 1

2”

3 6— 9”

图 7-7

桥梁的横截面-示例7-1

22— 2”

• • • 1. Ao

其中，t是在计算由于扭转引起的剪应力时的壁厚。 最大扭剪应力发生在壁厚最小的地方。 例如，对于图7-7中所示的空心梯形桥横截面，该横截面将位于下法兰中。

仅当管壁是连续的（没有平行于管轴线的狭缝）时，或者对于实心构件，该构件才能近似为具有连续壁的管，这种分析才适用。 公式（7-9）可以应用于弹性或非弹性截面。 考虑图7-4中膜的形状。 如果膜的倾斜度在整个壁厚范围内变化很小，则可以将其称为薄壁管，并且可以忽略不计，而不会造成准确性的严重下降。

例7-1计算扭剪应力
薄壁管理论的桥梁横截面中的应力

图7-7a显示了桥的横截面。 计算在侧壁的顶部和底部以及在下部法兰中的剪切应力，这是由于施加的1650 kip-ft（千磅英尺）扭矩引起的。

• • • • 1. 计算

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