在用矩阵对角化技术构造移位算子的Jaynes-Cummings模型外文翻译资料

英语原文共 5 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

在用矩阵对角化技术构造移位算子的Jaynes-Cummings模型

K Jie Zhou,1 Hong-Yi Su,1, lowast; Fu-Lin Zhang,2, dagger; Hong-Biao Zhang,3, Dagger; and Jing-Ling Chen1, sect;

1 南开大学数学研究所理论物理系,天津300071,中华人民共和国；

2 天津大学理学院物理系,天津300072,中华人民共和国；

3 东北师范大学理论物理研究所,长春130024,中华人民共和国.

摘要 Jaynes-Cummings模型将由升降（移位）算子通过矩阵对角化技术来解决.模型的核心处,贝尔非局域性也起着至关重要的作用.

关键字 升降算符; Jaynes-Cummings模型

1、引言

许多具有各种相互作用和势能的量子力学模型通常通过在特定位置或动量坐标中求解它们的波动方程来解决,考虑变量分离,边界条件,单值等.这种求解方式虽然在获得显式能量谱和波函数方面非常有价值,但有时会掩盖被考虑的量子系统的基本对称性.相比之下,算子方法[1]--尤其是涉及李代数的算子方法[2]--不仅简化了实践中的问题求解,而且无论是固定的还是动态的,在大多数情况下都提供了更多关于其他相关对称模型解的见解.

在许多代数方法中[3],以通过处理非线性变形代数[4]最为突出,该非线性变形代数由通过求解:

(1)

其中表示哈密尔顿算子是闭算子集是要对角化的矩阵（参照等式（10）,其等于（1）通过从中减去项）.然后可以用这些移位算子写出线性(2)或(1)李代数,揭示系统的动态对称性[5].

在本文中我们将使用这种方法解决Jaynes和Cummings于1963年提出的Jaynes-Cummings模型（JCM）[6].该模型描述了在存在或不存在光的情况下与光腔的量子化模式相互作用的两能级原子的系统.无论是在实验上还是在理论上,其应用范围包括原子物理学,量子光学[7]和固态量子信息电路[8].哈密尔顿主义者认为

其中是泡利矩阵是两级系统的能级分裂是具有频率为的单个玻色子模式的破坏（创建）算子是耦合系数,且.这里,与交换的量的守恒意味着状态空间可以分解成无穷个二维子空间,每个本征态可以标记为.在二维子空间中有两个本征态可以用和标记[9].

本文的结构如下：在第二部分,我们为汉密尔顿主义者（2）构造升降算符；在第三部分 ,我们计算物理系统的能量谱和波函数；在第四部分 ,基于升降算子构造代数结构； 在第五部分 ,我们用JCM的激发态来检验Bell的非局域性,然后再最后一部分讨论.

2、哈密尔顿函数的升降算子

对于任何哈密尔顿算子如果有算子满足以下换算关系

其中和分别称为算子H的升降算符[10-14].例如,令并且,方程(3)简化为量子线性谐振子的常见情况,其中.我们将那些对升降算子的一般定义感兴趣的读者转介给参考文献[1] 和[11].值得注意的是,特定哈密尔顿系统的升降运算子的显式形式不需要相互伴随[1].

与规范的交换关系

,

[]= []= (4)

[]= []=

我们有

[]= (5)

[]= (6)

[]= (7)

[]= (8)

其中.从等式（5）、（6）中可得出：

[]=0 (9)

所以,算子是一个守恒量.

(6),(7)和(8)可以写成如下形式：

(10)

其中是闭算子集[3]是4times;4矩阵

(11)

解方程式

(12)

我们便得到矩阵的4个特征值：

(13)

其中现在我们可以将写成

(14)

其中

(15)

(16)

我们用乘以来构造一个更一般的对角矩阵：

(17)

其中是一个常数是一个关于和的函数,我们将稍后解决.然后我们得到：

(18)

其中.我们可得到：

(19)

然后,从[3]中的技巧中可得：

(20)

故：

(21)

(22)

这里和等价.从等式(19)和(20),我们得到,并且

, (23)

这恢复了升降算子的定义.所以算子和分别是哈密尔顿算子的上升和下降算子.

下面我们构造使得升降算子相互伴随

(24)

假设是的实函数,我们从等式(10)得以下算子方程

, (25)

并且从等式(24)和(25)可得和的关系为：

(26)

3、能量谱和波函数的确定

我们将使用升降算子来确定其能谱和波函数.

1. 基态：对于基态和零点能必须满足

(27)

假设其计算基础为：

(28)

为了方便起见,由方程(29)和(31),我们引入符号

,

,

,

(29)

而且

, (30)

, (31)

通过分析等式(30)和(31)我们得到如果我们得到基本形式：

(32)

(2)激励状态：我们从等式(30)和(31)得出结论：

(33)

其中而且

(34)

其中 类似可得

(35)

我们有：

. (36)

总而言之,能谱和波函数以

, (37)

为基态,而且以

(38)

为激励状态.

4、JCM的代数结构.

我们重新定义了三个生成器和满足换向关系

, (39)

其中.从等式(39)我们也可得到：

, (40)

或更一般的：

(41)

因此：

. (42)

之后我们有：

(43)

而且：

(44)

并且

(45)

(46)

.

所以,

, (47)

5、贝尔的非局域性

我们引入“伪自旋”算子[15]：

(48)

之后我们定义贝尔算子[16]为:

(49)

其中为四个单位矢量表示一般的泡利矩阵(即时的伪自旋算子).

我们可以构造一个激发态的Bell不等式来检验,例如,某个的：

, (50)

其中通过取

(51)

证明除了当时违反了局部隐变量边界2.可得在JCM中,处处满足贝尔非局域性.

6、讨论

本文通过矩阵对角化技术得到了JCM的升降算子,并在计算基础上求出了能谱和波函数. 然后我们通过用李代数的生成元来写这些移位算子,从而揭示了模型的动态对称性. 最后,我们证明了贝尔非局域性存在于JCM的激发态中,进一步证明了用本文所用的方法解决JCM的优点.

7、致谢

J.L.C. 得到国家自然科学基金资助（批准号：11475089）.F.L.Z. 得到国家自然科学基金资助（批准号11675119和11575125）.

参考文献

[1] O. L. De Lange and R. E. Raab, Operator Methods in Quantum Mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1991).

[2] L. Infeld and T. E. Hull, Rev. Mod. Phys. 23, 21 (1951); B. Mielnik, J. Math. Phys. 25, 3387 (1984); A. Stahlhofen and K. Bleuler, Nuovo Cimento B 104, 447 (1989); J. Hoppe, Lectures on Integrable Systems (Sringer Verlag, Berlin, 1992); J. I. Diacute;az, J. Negro, L. M. Neito, and O. Rosas-Ortiz, J. Phys. A 32, 8447 (1999).

[3] M.L. Ge, L. C. Kwek, Y. Liu, C. H. Oh, and X. B. Wang, Phys. Rev. A 62, 052110 (2000). [4] C. Delbecq and C. Quesne, J. Phys. A 26, L127 (1993).

[5] J. L. Chen, Y. Liu, and M. L. Ge, J. Phys. A 31, 6473 (1998); C. Quesne, J. Phys. A 32, 6705 (1999).

[6] E. T. Jaynes and F. W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).

[7] V. Vedral, Modern Foundations of Quantum Optics (Imperial College Press, London, 2006).

[8] E. K. Irish, Phys. Rev. Lett. 99, 173601 (2007).

[9] D. Braak, Phys. Rev. Lett. 107, 100401 (2011).

[10] M. G. Hu and J. L. Chen, Int. J. Theor. Phys. 46, 21192137 (2007).

[11] J. L. Chen, H. B. Zhang, X. H. Wang, H. Jing and X. G. Zhao, Int. J. Theor. Phys. 39, 2043 (2000).

[12] J. L. Chen, Y. Liu and M. L. Ge, J. Phys. A 31, 6473 (1998).

[13] X. H. Wang and Y. B. Liu, Int. J. Theor. Phys. 48: 27482756 (2009).

[14] X. H. Wang and

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[23654]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word