图像及图像操作模型外文翻译资料

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图像及图像操作模型

2.1 简介

为了研究图像处理方法，我们首先需要在理论上弄清楚待处理的图像是什么以及处理图像意味着什么。在这个章节中，我们提出数字图像的理论模型以及这些图像的处理方法。为了便于解释，我们从二维图像开始讨论。

在2.2节，我们分别定义（二维或2D）连续图像和（二维）数字图像为两个变量和2D数组的函数。图像之间的关系，比如等于、大于等，将会稍后在2.2.6小节介绍。

在2.3节，我们用以上图像的定义给出图像处理的形式化描述。图像处理算法的运用被定义为一张图像到另一张图的映射。换言之，从输入图像得到新图像的过程可被制定为图像空间中的一种处理器。图像处理器之间的关系根据图像间的关系定义。两个或多个图像处理间的处理器将以类似的方法进行介绍。两种不同的图像处理器组成方式——并行和串行，在此会被详细介绍。

在最后的2.4节中，图像处理器根据它们的特征进行分类。我们将会讨论几种重要的处理器（或称算法类型）比如顺序型、并行型、局部处理器、迭代处理器和移位不变处理器等。这里讨论的图像和图像处理算法概念和方法将在以下章节理论上研究每个算法特征及将算法应用扩展到更广阔的实际图像处理领域过程中被多次利用到。

2.2 连续图像和数字图像

2.2.1 连续图像

由于数字图像是由连续图像经过数字化得到的，所以我们以二维连续图像作为二维图像示例开始介绍。

图像尤其是2D图像可看作是拥有两个变量的标量函数f(x,y)，此处f代表图像平面上点(x,y)处的灰度值。我们称这种图像为连续图像。f值的物理含义随不同图像处理而不同。具体例子如下所示：

1. 画在纸上的图：反射性。
2. 记录室外场景的照片底片：传输系数与胶片曝光程度成比例。通常代表场景中物体反射的光照强度。
3. 医疗X光图：物体对X光的衰减系数。
4. 超声波图像：物体反射回的声波强度。
5. 热像图：物体表面的温度。

我们简单地称f的值为图像密度或灰度值。

备注2.1（密度）。在某些情况下，亮度和密度是完全不同的两个概念。亮度是指传感器感受到的光照强度，而密度代表亮度的对数。据说，人类视觉系统对光照强度刺激的反应大体上与眼睛接受的光能量的对数成比例^【Hall79】。

2.2.2 数字图像

连续图像的数字化包括两个步骤：采样与量化。

1. 采样：有两种理解采样的方法。第一种，代表连续图像的函数f(x,y)在排好序的矩阵（比如矩形矩阵或者方形矩阵）或三角形矩阵（或称三角形点阵）点（采样点）上采样。第二种方法是将图像平面看作是一串被分割成相同形状大小的单元格，这些单元格也称像元、图片元素、或者像素点。每个单元格f的平均值就是单元格中心点的图像密度。实际应用中通常采用正方形或六边形单元格。如果我们将采样点看作是像元的中心，那么两种解释都可能。注意方形点阵和三角形点阵分别对应正方形像素系统和六边形像素系统（如图2.1）。
2. 量化：每个像素（或采样点）的密度值取一串有限整数集合中适合的一个值。这个过程称为量化。量化在原理上和单变函数一样，如在通信系统中传输的时变信号。通常，我们采用一串整形常量0,1,2,hellip;hellip;,2^m,m = 5~12用来表示数字图像的密度值。用这种方式定义的数字图像只取整数密度值。在只取有限位数值的时候，这种方法几乎永远成立。但是由于在一些比如平滑、差分、空间频率滤波场合，输出图像的密度值在原则上可以取任意实数，所以对于图像处理的理论分析不是很方便。因此，我们假定，如果数字图像的亮度值没有提前设定，则可以取任意实数。

Fig.2.1 2D图采样（bull; ：采样点；实线与虚线：像素）：

（a）使用方形像素（或方形点阵）采样；（b）使用六边形像素（或三角形点阵）采样

在实际情况下，图像的大小都是有限的。此书的理论分析时，我们既处理有限大小的图像也处理无限大小的图像。从现在开始，如果没有明确规定，我们默认数字图像的采样是通过方形点阵或者被划分成方形像素点完成的。如果图像的所有像素只有两种密度值，则称之为二值图像。若没特殊说明，我们将这两个值默认为0和1，这样的二值图像的像素点分别称为0像素点和1像素点。能取多种密度值的图像称为灰度图。

用(i,j)表示i行j列像素坐标，F = { f_ij }表示数字图像的(i,j)处通过函数f_ij对应的密度值，我们可用多种方式表示像素点，比如：像素P，点P，像素P = (i,j)，像素x。

图2.2 信号与图像的数字化

2.2.3 三维图像

在这节中，我们将讨论3D图像。

我们用含有3个变量的标量函数f(x,y,z)来定义3D连续图像，这里f代表3D空间里点(x,y,z)的一个特征值。

3D连续图像的数字化方式与2D图像相同，即：使用立方矩阵（采样点的3D网格或3D方阵）对函数f采样，或者，将3D空间分为一组小立方单元，函数f的值取小立方的平均值。因此，立方称为体单元或体素而不是2D空间里常称的像素。3D图像的密度值量化与2D图像相同（图2.2）。

位于x行j列k平面的体素用体素(I,j,k)表示。符号F = { f_ijk }表示体素(i,j,k)的值由f_ijk决定的3D数字图像（或简单的3D图）。我们一般通过观察不用ks对应的2D连续矩阵F_k = { f_ij(k) } ，然而计算机是直接访问三维数组。3D数字图像的一个典例就是一串通过CT或者计算机层析系统与医疗中核磁共振技术系统获得的人体截面。

函数f的值的物理意义与2D的非常不同。在3D图像中，f_xyz的值代表位于点(x,y,z)和包含(x,y,z)体素的特征值。其含义会随成像装置中采用的测量技术不同而变化。以下是一些例子：

1. X光CT图：物体对X涉嫌的衰减或吸收因子。
2. PET（正电子CT）图：物体体素发射的射线强度。
3. MRI（核磁共振成像）：物体体元的核磁共振能量。
4. 3D超声图像：物体反射的超声波能量。

备注2.2（3D矩阵）。使用采样点矩阵的一个好处就是物理学、晶体学和其它领域所知的结论可被高效利用。如图2.4所示是一些3D空间著名的点阵。在3D图像处理中，对与点阵相对应的体素的应用也是必需的。从处理体素的简单性来看，立方点阵在实际应用中最常见。

图2.3 CT切片图示例

图2.4 3D空间的晶格及其邻域：（a）7点立体晶格（6个邻点）; （b）8点立体晶格; （c）13点面心立体晶格（12个邻点）; （d）19点面心立体晶格（18个邻点）; （e）19点立体晶格（18个邻点）; （f）27点立体晶格（26个邻点）

图2.5 2D与3D线图数字化：（a）像素数字化（2D）；（b）网格数字化（2D）；（c）体素数字化（3D）

2.2.4 3D线图及其数字化

因为线图没有宽度，3D空间的线图必需充分讨论，我们先从2D线图开始讨论。一下两种方法在2D图像中均有被用到（图2.5）。

1. 根据像素数字化：将连续平面分成像素点，线经过的像素点值设为1，其它的设为0.因为恰好位于线边缘的像素点取0，所以数字化的线图一般都是4连通图。
2. 使用网格数字化：在图像平面上附加一个网格，每个网格点视作像素点中心。对每个线图与网格交点的最近网格点取1，这样得到的数字线图是8连通图。

图2.6 简单弧

以上两种方法在3D图像中均被用到。在第一种方法里，经过线图的体素（立方）成为1-体素，其它为0-体素（体素数字化）。如果忽略线恰好经过顶点或两个体素共同平面的情况，我们就可得到6连通图。

在第二种方法中，将3D网格放在3D空间里，取线与3D网格的交点，每个3D网格点当作立方体素中心，取离线与3D网格交点最近的网格点并给它赋1。使用这种方式数字化的线图是26连通的。更多细节讨论可参照[Jonas97]。

备注2.3（简单弧）。在最简单的线图中，只有两个体素在它们的K邻域有一个1-体素，其它的体素在它们的K邻域内有两个1-体素。我们称这样的图为简单（K连通）数字曲线，或简称简单弧。两个只有一个邻近1-体素的体素称为边缘体素点，其它的称为连通体素（连通点）（图2.6）。

数字线图里任一1-体素到K邻域里另一个体素的方向可用编码来具体表征（如整数1,2,hellip;,26）（图2.7）。这种编码称为方向码或链码。简单的数字弧可由起点和一系列链码确定。

3D线图数字化的可取性质在[Jonas97]中有如下解释。

图2.7 3D线图的链码表示：（a）2D线图（8连通）的方向码；（b）3D线图（6连通）方向码；（c）3D线图（26连通）方向码

1. 轴对称：数字化表示与坐标变换或坐标轴变换对称。根据文章的描述，3D线图的表述不随i,j,k的变化或数字顺序的颠倒而改变。
2. 方向对称：交换起点和终点，方向码的顺序和方向都会倒置。
3. 平移不变性：数字化描述不会随原始线图位移整数倍采样间隔而变化。
4. 有限记忆：并不是曲线任意远处的内容来决定线图的数字化描述。也就是说，线图的局部变化只会对其数字化表述产生局部影响。
5. 线性：连续空间中线段的数字化表示是数字弧。
6. 投影性质：3D曲线对x-y平面投影的数字化表示与同一曲线同一x-y平面的3D数字化表示的投影是一致的。
7. 最小化性质：3D连续空间的曲线数字化在某种意义上是原始连续曲线与数字化表示距离的最小值。
8. 压缩性：曲线数字化表示所需的编码数量是满足以上所有条件里最少的。

这些仅供参考。目前还没有量化方法可以满足以上所有特性。

为了讨论连续空间中线图特性间的关系和数字化说法，我们必须仙女假设数字化满足以上至少一种情况。例如：为使给定的26连通数字曲线就是3D空间里线段的数字化表述，应满足什么条件呢？虽然在2D线图里已有非常好的解决方法，但它并不能简单地应用到3D图中。另一个例子就是通过链码得到原线图的长，这些问题理论上可通过首先假设存在一种方法能使连续空间得到数字曲线得到解决。

2.2.5 截面与投影

3D连续图像在任一平面H（平面H上的密度值分布）的截面可看作是2D图像，我们称之为（H平面上的）图f的横截面（侧面）。

3D连续图f(x,y,z)中，平面H的垂线附近的密度值集合称为平面H上图f的投影。平面H的投影图也是二维的。

比如，设水平面z = z₀的截面为

(2.1)

平面H的三维图f(x,y,z)的投影为

(2.2)

3D数字图像的截面和投影也这样定义。比如，水平面k = k₀处的截面为：

(2.3)

i-j平面的投影为

(2.4)

对于三维图而言，任意方向平面的截面和任意平面的投影计算起来并不容易。在计算机图形学和计算机视觉中已经研究了很多计算它们的算法。不论是任意方向平面的截面还是任意平面的投影，抑或曲面的截面，在医学应用中都经常被用到。

备注2.4（截面与投影）。截面和投影在以下应用中用法也不同（图2.8）。

定义2.1 设f(x,y,z)为连续单值标量函数，t（可称为水平或者阈值）为实数。水平t处的函数f的截面定义如下。

St(f) equiv; {(x, y, z) isin; D; f(x, y, z) ge; t}, (2.5)

这里D为函数f的定义域：对应密度值大于等于t的(x,y,z)范围。

我们可用以下格式表示三维连续函数f(x,y,z)

f(x, y, z) = sup{t isin; R; (x, y, z) isin; St(f)}, (2.6)

其中，R是所有实数集合，也是水平t处截面包含点(x,y,z)的上界。如果截面已给定，那么函数f可被唯一确定。

对于一个密度值被量化为M水平的3D图像，其存在M个截面。水平k处的截面是所有体素的集合，所以密度值大于等于k，相反地，只有体素(x,y,z)的密度值等于最大水平，截面才能包含这个体素。

定义2.2 考虑4D空间(i,j,k,f)。(i,h,k,f)是使f(i, j, k) ge; t的集合，称为本影（或投影），用U(f)表示。即

U(f) equiv; {(i, j, k, f); f(i, j, k) ge; t} (2.7)

相反，给定本影U(f)，那么f(i, j, k)被定义为

f(i, j, k) = sup{t; (i, j, k, f) isin; U(f)} (2.8)

（当(x,y,z)确定时，f(i,j,k)等于本影中t的最大值）

图2.8 截面与投影：（a）截面与投影（1）；（b）截面与投影（2）

直观上，本影是四维空间(i,j,k,f)在曲面t = f(i,j,k)（包括曲面本身）下的本影。

所以截面和投影都是点集，虽然截面是3D空间的而本影是4D空间的。我们可取点集中的点为1其它为0来得到一个二值图像。根据集合论的术语，它们都是集合的特征函数，分别称为截面和本影。所有的截面或本影与原

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