几个函数空间及其性质分析开题报告

1. 研究目的与意义

函数空间指的是从集合x到集合y的给定种类的函数的集合。

其叫做空间的原因是在很多应用中，它是拓扑空间或是向量空间或这二者。

经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。

2. 研究内容和预期目标

一、 概念与定理

1.1 c[a,b]的定义

1.2 可测函数空间的定义

3. 国内外研究现状

微积分奠基于16，17 世纪，形成了数学分析这门基础分支。至18世纪末19世纪初，黎曼积分意义下的微积分理论基本成熟，但是数学家逐渐发现一些奇怪的现象，揭示出了黎曼积分存在很大的缺陷。这些奇怪的现象包括：连续而不可微的函数；具有有界的不是黎曼可积的导数的函数；可积函数列的极限函数不总是黎曼可积等等。另一方面由Dirichlet,Riemann,Cantor,Ulisse Dini, Jordan 和19 世纪其他数学家建立起来的Fourier级数理论已经成为应用数学满意的工具，但是对于追求完美的数学家而言，这种建立在数学分析基础上的级数理论存在诸多不理想的地方，离函数和级数关系的统一性，对称性和完备性有相当的差距。在这两个因素的作用下，以Lebesgue为首的一批数学家建立了新的积分理论，从而开创了实分析这一新的重要的数学分支。函数论的重点在于积分论，大多数不理想的地方可以可以通过推广积分的概念解决。所以函数论的研究及我们今天对几个函数空间的研究在某种程度上可以说是对Riemann等数学家工作的继续。

在数学中，Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的p空间是由p次可和序列组成的空间。它们有时叫做勒贝格空间，以昂利勒贝格命名，尽管依据Bourbaki (1987)它们是Riesz (1910)首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。

4. 计划与进度安排

通过查阅相关文献及相关资料，对几个函数空间（如C[a, b], 可测函数空间，Lp(R)等）的性质及关系的讨论，并给出这些空间的若干应用。

5. 参考文献

[1]孙跃娟,刘永利.度量空间的完备性及其特殊性质[j].西南民族大学学报(自然科学版),2012,38(02):211-213.

[2]实变函数与泛函分析基础[m]. 高等教育出版社 , 程其襄等 编, 1983

[3]左晓虹,李米波,左泽龙.可测函数的若干性质[j].南昌教育学院学报,2010,25(03):63 66.