若干不动点定理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

在数学学科中，不动点问题是非线性泛函分析的重要内容, 而满足一定压缩条件的映射不动点问题一直是研究的热点. 在世界各国学者的不断研究中，不动点定理在非线性微分方程、非线性积分方程以及泛函微分方程中分析其解的存在性和唯一性问题中有十分重要的作用. 不动点定理是分析中具有重要应用价值的一门数学分支，他在数学分析、线性代数、各种微分方程、变分不等式等学科有着重要的应用，同时在动力学方程、运筹学、博弈论、控制论、优化论、经济学等方面有着广泛的应用，不动点定理已经成为与人们生活息息相关的十分活跃的一个数学分支.

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

1. 研究 banach 不动点定理的证明

2. 研究 banach 不动点定理的应用

3. 国内外研究现状

1922 年 banach 首次引进 banach 压缩映射原理，并证明在该压缩映射下，在完备度量空间中存在唯一的不动点。

后来，有学者陆续提出 chatterjee 压缩、hardy #8722; roger 压缩、suzuki 压缩、 meir-keeler 压缩、(ψ, φ)-压缩等, 并证明了这些压缩条件在各类空间中的不动点定理。

在各类不动点问题的研究中，学者们的研究范围主要涉及不动点、公共不动点和耦合不动点等方面. 同时，学者们注重理论研究的同时，近年来也将重心偏移到不动点的应用方面. 其中一部分学者将其应用到偏 1 微分方程和矩阵方程中，用于探讨偏微分方程和矩阵的解的问题。

4. 计划与进度安排

1.2022 年 12 月 11 日前——完成开题工作

2.2022 年 3 月 19 日前——完成初稿工作

3.2022 年 4 月 9 日前——完成二稿工作

5. 参考文献

[1]熊军. 几类不动点定理的推广及证明[d].兰州交通大学,2018.

[2]沈友情. 关于广义度量空间中若干不动点问题的研究[d].南昌大学,2019.

[3]周敬人. 两类广义度量空间上压缩映射的不动点的研究[d].广西大学,2019.