关于积分运算与极限运算的可换序问题开题报告

1. 研究目的与意义

极限和定积分是高等数学中的两个非常重要的概念。

定积分是源于极限与微分理论,通过对诸多实际问题(如平闭曲线围成的面积、变力作功、变速直线运动的路程、水的压力,立体的体积等)的分析、研究而抽象出来的。

经过对这些具体问题在特定区域上细化为若干子区域(分割),在每个子区域上,将“变”的问题转化为局部“不变”的问题(近似代替后经过对各个子区域相应问题求和,便得到所求问题的近似解,而当每个子区域的长度充分小时,这个和式的极限值就是所求问题的解。

2. 研究内容和预期目标

研究积分与极限可换序的条件。

特别考虑，由几乎处处收敛的几乎处处连续的本性函数序列的无界点集的闭包s是零集，结合几乎处处连续的本性函数的积分定义与可积的充要条件，证明几乎处处收敛的几乎处处连续的本性函数序列的积分与极限交换的充要条件是该函数列在s上积分等度收敛。

我们知道在黎曼积分的范围内为了使积分和极限号可交换即对一致收敛的黎曼可积函数列{fn(x)}能成立,一般般要加上一致收敛这一充分条件。

3. 国内外研究现状

目前研究可知可测函数列的极限与积分换序是 lebesgue积分中最重要的内容之一,其主要结果是三个等价的积分极限定理: lebesgue控制收敛定理、levi定理与 fatou引理.levi定理是针对非负单调可测函数列或一般单调可积且积分序列有界的函数列。

同时在目前通用的数学分析和实变函数教材中，介绍了能保证黎曼积分与极限可交换顺序的一致收敛条件。

众所周知，一致收敛是一个很强的条件，问题是我们是否可以采用条件较弱的充分条件来研究黎曼积分与极限可交换顺序。

4. 计划与进度安排

2022.11 选定指导老师，确定毕业论文参考题目2022.12 下达任务书，做开题报告2022.3 开始毕业论文初稿的写作，提交一稿2022.4 按导师的修改意见修改论文，提交二稿2022.5 完成毕业论文的修改、定稿，申请答辩

5. 参考文献

[1]常庚哲, 史济怀.数学分析教程[M].北京:高等教育出版社, 2003.[2]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社, 1990.[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.[4]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1988.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 2002.[6]邢家省, 付传玲, 郭秀兰.函数列积分的极限定理及其应用[J].河南科学, 2008, 26 (4) :383-388.[8]李成章, 黄玉民.数学分析:上册[M].2版.北京:科学出版社, 2007.[9]黄玉民, 李成章.数学分析:下册[M].2版.北京:科学出版社, 2007.[10]戚民驹.收敛函数列的一个性质.安徽大学学报:自然科学版,2008，32(2):8—11[11]戚民驹.关于几乎处处连续本性函数的可积性问题.上海师范大学学报:自然科学版,2004，33(1):32-38[12]周性伟.实变函数.北京:科学出版社,1998，94-97

[13]夏道行实变函数论与泛函分析[M.上册.北京:人民教育出版社,1978，177-178