若干经典中值定理的探讨及应用开题报告

1. 研究目的与意义

经典中值定理在数学分析属于及其重要的一部分内容，分为微分中值定理和积分中值定理两类。其中微分中值定理是微积分学的基本定理，也是研究函数性质的有力工具。不仅沟通了函数与其导数的关系，而且是微积分学理论应用的桥梁与基石。而积分中值定理是一种数学定律，分为第一积分中值定理和第二积分中值定理，积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值或者将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段。

本文针对这两类中值定理的原理，研究方法，主要应用进行探讨，同时对定理的形式和结论做一些推广，并给出一些比较好的应用。其中因为微分中值定理理论性较强，内容抽象，理解和应用比较困难，所以作为重点研究对象。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容主要涉及三类微分中值定理和两类积分中值定理，由于对于不同的问题可以选择不同的中值定理，所以本文研究中值定理在不同情况下的应用就显得很有必要，从原理入手，到证明方法，最后举例说明，逻辑清晰明了。

首先给出他们在数学分析课本中的原理、证明过程以及常见的应用，分析中值定理在数学分析中主要的应用之处。

其次对中值定理进行拓展，比如对条件进行弱化，对一些公式进行进一步推广。

3. 国内外研究现状

人们对于微分中值定理的研究，从微积分建立的时候就开始了，1637年，费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，被认为是微分中值定理的第一个定理。之后，许多著名的数学家对其进行探讨，至今形成了如今《数学分析》中最为广泛的三类微分中值定理。

时至今日，国内外的许多数学家也在对它们进行研究，从原理，证明，应用与推广各个方面将微分中值定理和积分中值定理进行了发展和深化,例如不动点和零点的单形逼近的中值定理，给出了最近提出的单形中值定理的两个简短证明。所得到的证明是基于sperner覆盖原理的。此外，利用单纯形的单纯形细分，将此中值定理应用于连续映象的不动点和零点的局部化和逼近。同时，证明了在所考虑的单纯形细分中存在sperner单纯形（全色单纯形）的一个定理。此外，还给出了误差估计。

基于中值定理和模式搜索算法的简化非线性未知输入观测器，提出了一种新的结构，将估计误差的动态特性和不确定参数β综合到中值定理中。模式搜索算法将用于β参数的确定和观测器的设计。稳定性研究依赖于二次lyapunov函数的使用。利用解析方法系统地确定了观测器增益。第二种方法是基于lmi技术和多面体变换的。研究了输出受干扰影响的情况。最后，通过数值算例说明了该方法的性能。

4. 计划与进度安排

第一阶段：

第七学期 11-12周

研究各种微分中值定理和积分中值定理的原理说明及证明方法，并查阅参考文献和课本，收集有关微分中值定理和积分中值定理证明和计算的例题，完成开题报告。

5. 参考文献

[1]华东师范大学.《数学分析上册》[m].高等教育出版社 . 2010.7:122-130;

[2]华东师范大学.《数学分析上册》.[m] 高等教育出版社 .2010.7:;220-227