各向异性椭圆方程的数值解法及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

2. 研究内容和预期目标

研究内容：在偏微分范围内，对各向异性问题的已有结论的分析与研究，并对各向异性问题相关的数值解法进行分类，给出应用举例。

拟解决的关键问题：各向异性问题的相关数值解法和应用举例。

写作提纲：先对国内外涉及各向异性问题的相关研究结论的总结分析，再对各向异性问题的常见数值解法进行分类和应用总结举例。

3. 国内外研究现状

国内：研究无穷凹角区域上一类各向异性问题的自然边界元法。利用自然边界归化原理，获得该问题的poisson积分公式和自然积分方程，给出了自然积分方程的数值方法，以及逼近解的收敛性和误差估计，最后给出了数值例子，以示方法的可行性和有效性。椭圆外无穷扇形区域上调和方程边值问题的自然边界元。.利用自然边界归化原理，获得该问题的poisson积分公式和自然积分方程，给出了自然积分方程的数值方法，以及逼近解的收敛性和误差估计，最后给出了数值例子，以示方法的可行性和有效性。椭圆外区域上helmholtz方程边值问题的自然边界元法，主要内容如下：第一部分介绍求解椭圆外区域上helmholtz方程要用到的一类重要特殊函数-mathieu函数的基本知识，第二部分首先利用自然边界归化原理，获得该问题的poisson积分公式以及自然积分方程，然后给出了poisson积分公式和自然积分方程的数值解法。此外还介绍了自然边界归化理论与d-n边界积分算子,圆周、椭圆周与球面上的人工边界条件，及自然边界 元与有限元耦合算法、区域分解算法和其它相关的计算方法,并对这些数值方法进行了分析比较。

国外：给出一类二阶非标准增长的各项异性椭圆方程奇异性可移的一个充要条件。针对一类系数可测的各向异性拟线性椭圆方程，利用内禀重尺度方法，在只知道局部有界的条件下，证明解的保持连续性。

4. 计划与进度安排

前期：阅读国内外各向异性的研究成果并且进行分析，对已有的结论进行归纳。掌握基本的知识点与结论。

中期：完成前期的论文书写，并且解决各向异性问题解法的这一关键问题，例举相关的事例，证明可行性与有效性，并且完成这部分的论文书写，完成论文初稿。

后期：对论文进行修改和完善。

5. 参考文献

[1]陈亚军,杜其奎.无穷凹角区域各向异性问题的自然边界元法[j].应用数学学报,2009,32(05):835-848.

[2]陈亚军,杜其奎.椭圆外无穷扇形区域边值问题的自然边界元法[j].南京师大学报(自然科学版),2009,32(02):6-12.

[3]张敏. 椭圆外区域问题的自然边界元法[d].南京师范大学,2007.