求解常微分方程的Runge-Kutta方法开题报告

1. 研究目的与意义

常微分方程在自然科学的众多领域有着广泛应用，对于一般的常微分方程初值问题，往往比较难于找到其精确解．因此，研究求解常微分方程的数值方法有着极其重要的理论和现实意义．目前，求解常微分方程的主要数值方法有多步法和单步法，单步法中比较经典的当属Runge-Kutta[1].

在计算机诞生之前，Runge-Kutta方法被禁锢在只能用手进行计算的实际问题上，但是随着计算机的出现，Runge-Kutta方法呈现出新的史无前例的重要性.能够解决的问题变得越来越大、越来越复杂，该方法的发展不但表现在理论上而且表现在技术上.随着解决问题复杂程度的大大提高，经典的Runge-Kutta方法已经远远不能满足计算精度和收敛速度的要求，经典方法精度不高，速度慢的缺点暴露无遗，在实际的计算中，往往应用更多的改进后的Runge-Kutta方法.但是，它的构造思想以及在数学发展中的重要地位，对常微分方程数值解的求解和计算有着深远的影响.

2. 研究内容和预期目标

在本文中，我们对间题提出的背景加以简要介绍和说明.就runge-kutta方法的起源及发展脉络加简要研究[2]，给出古典runge-kutta方法的二三阶系数求解过程，表明使用古典方法在计算求解较高阶的runge-kutta方法系数时，泰勒展开式计算的复杂性。从而引出butcher教授的一系列工作成果：

1.range-kutta方法的简便表示，称为butcher表[3].

2.基于图论中的根树理论创立了一套简单有效的方法来表示初值问解析解和数值解的泰勒展式.

3. 国内外研究现状

随着时代的发展，在科学的很多领域，对常微分方程以及方程组的求解的需求越来越多，并且对求出的解的解的精确性的要求也越来越高。所以，很多数学家又重新投入到对runge-kutta方法的研究当中，

1963年以后，ceschino, kuntzmann,shanks和butcher等教授[6,7]分别独立地证明了5级5阶显式range-kutta方法是不存在的.随后，butcher教授[6]构造了6级5阶显式range-kutta方法和7级6阶显式range-kutta方法(此外，还有其他作者的一些工作).butcher教授1965年在文献[6]中证明了8级7阶显式的range-kutta方法是不存在的，并宣布9级7阶的显式range-kutta方法存在……1985年，butcher教授证明了10级8阶显式runge-kutta方法是不存在的[8]. 直到现在，人们构造的显式range-kutta方法最高是10阶的.

kuntzmann和butcher在1964年发现对所有的正整数s都存在2s阶的隐式runge-kutta方法,并且首先基于高斯(gaussian)积分公式给出了著名的gauss方法.随后，butcher教授基于radau和lobatto积分公式，利用简化阶条件构造了新的隐式runge-kutta方法，由此得到的runge-kutta方法分别称为radau i, radau ii和lobatto iii[3,9].

4. 计划与进度安排

2022年11月24日前：撰写开题报告

2022年1月10日2022年1月17日：阅读《常微分方程数值解》等教材，翻译相关问题的外文文献准确理解runge-kutta方法，并掌握二三阶经典runge-kutta方法的推导过程，找出与课题有关的问题和结论，对问题加以分析对结论加以证明.

2022年1月18日2022年1月25日：阅读有关现代runge-kutta方法的文献，翻译相关问题的外文文献，着重理解butcher教授的相关工作，如butcher表，butcher级数，range-kutta方法阶定理等.2022年1月26日2022年2月10日：对前期所有阅读加以分类整理，提取论文所需信息和材料，从而方便日后进行详细的现代runge-kutta方法介绍。

5. 参考文献

[1]秦军，runge-kutta法在求解微分方程中的应用[j]，2010

[2]林立军，郭松云，常微分方程数值解-runge-kutta法的历史浅析[j]，辽宁师范大学学报，2006，26（2）：117-119

[3] j.c.butcher,implicitrunge-kutta processes, mathcomput.,18(1964a), pp. 59-64.