1. 研究目的与意义
切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫命名的重要特殊函数[1]。源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，分为第一类和第二类切比雪夫多项式 [2]。而就切比雪夫多项式它具有的性质。让切比雪夫多项式在拉格朗日插值选点、函数插值逼近、拟合、幂级数项数的节约等方面有了很大的应用。
本篇论文研究切比雪夫多项式的历史、来源和概念，并详细说明切比雪夫多项式的奇偶性、递推公式、零点、正交性等性质。研究切比雪夫多项式在函数插值逼近、拟合、幂级数项数的节约等方面的应用。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：在阅读了相关切比雪夫多项式的书籍和资料后，深入对切比雪夫多项式的学习和研究。在解决切比雪夫多项式在插值选点问题之前先了解代数插值法的基本步骤：使用代数插值法即多项式插值法建立近似公式时，需要求解线性方程组，当多项式阶次高时，会出现病态矩阵[3]。所以一般采用不必求解线性方程组的拉格朗日插值法或递推形式的牛顿插值法得到插值多项式[4]。插值多项式的余项取决于多项式次数，插值节点和被逼近函数的特性，可以通过选择插值多项式阶次、并对插值节点寻优选择，来提高插值逼近的精度[5]。接下来我们根据切比雪夫多项式的性质来研究如何将拉格朗日多项式的余项极小化。
拟解决的关键问题：证明切比雪夫多项式正交性 ，切比雪夫多项式的最高幂项的系数为多少，零点的性质。从而来分析和说明如何用切比雪夫多项式来使插值多项式的余项极小化。接着研究切比雪夫多项式在拟合方面的应用。
3. 国内外研究现状
切比雪夫多项式在信号重建中有重要作用， 针对lvdt位移传感器两端输出信号的非线性问题，提出了一种基于切比雪夫最佳逼近原理的信号处理方法[6]。该方法将传感器有效量程自适应地分为线性和非线性区域。线性工作范围和对应直线逼近函数利用切比雪夫一次最佳逼近自适应确定，非线性区域信号采用有理b样条函数进行线性化处理。设计了基于msp430单片机的信号处理器，搭建了基于步进电机直线台和标准激光传感器的试验平台，对该算法进行实验验证。实验选用量程为85mm的lvdt位移传感器，实验结果表明，该方法将传感器的非线性误差从2。47%降至0。30%，测量平均误差绝对值从0。64mm降至0。12mm，有效改善了传感器的线性度和精度，延展了其工作范围[7]。
使用切比雪夫插值法对插值节点寻优， 利用正交切比雪夫多项式的性质， 进行函数最佳逼近可以很好地应用于智能传感器系统或嵌入式微机应用系统中的测量数据处理，完成软件的非线性校正功能。如果需要补偿或校正的补偿或校正的曲线非线性较严重， 单纯提高逼近多项式的阶次已不能满足精度要求时， 还可以先分段处理， 再使用切比雪夫插值或多项式回归的方法，达到系统所需要的精度以及实时处理的要求[8]。故而切比雪夫多项式的插值法被大量应用于智能传感器系统以及嵌入式微控制器中的软件数据处理，提高检测的实时性和精度，在工程上具有很好的应用价值。
4. 计划与进度安排
2022年11月24日前：撰写开题报告。
2022年12月24日2022年12月30日：阅读《数值分析》，《切比雪夫多项式：从一道清华大学金秋营试题谈起》等书籍，并了解和掌握切比雪夫不等式的应用，找出与课题有关的问题和结论，对问题加以分析对结论加以证明。
5. 参考文献
[1]mason j c, handscomb dc.chebyshev polynomials[m].new york:crc press company, 2003.
[2] 周逸. 关于广义切比雪夫多项式的研究[d]. 华南师范大学, 2010.
课题毕业论文、开题报告、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
