压缩映射原理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

压缩映射原理是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间中一定映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了不动点的构造方法。这个定理是巴拿赫提出的又称为巴拿赫不动点原理。压缩映像原理是泛函分析这门课程中的一项重要内容，在各个领域都有着较为广泛的应用。作为数学专业的一名学生，我有幸能够学习到实变函数以及泛函分析这俩门课程，从而深刻的认识到压缩映像原理的重要性以及应用的广泛性，希望通过撰写这篇论文来加深对这项原理的认识以及它在不同问题不同领域的应用，并进行一定的拓展延伸，希望能够利用压缩映像原理来解决更多的实际问题。

2. 研究内容和预期目标

banach压缩映射原理实际上是picard逐次逼近法的抽象表述，是一个典型的代数型不动点定理。由他不仅可以判定不动点的存在唯一性，而且还可以构造一个迭代序列，逼近不动点到任意精确程度，在应用数学的几乎各个分支都有着广泛的应用。本文拟在以前人的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并给出一些相关定理的证明，结合具体实例分析其在不同领域的相关应用。

首先介绍了压缩映射原理，给出基础的理论内容以及在实数空间上的推论。

然后给出压缩映射原理的一些基本应用，如：证明闭区间套定理，证明隐函数的存在性与唯一性，证明常微分方程初值问题解的存在性与唯一性等。

3. 国内外研究现状

夏寿福白延琴于1996年着手研究一个收缩映像不动点定理与banach不动点定理的等价性，研究结果令人称叹；

徐龙华于2015年就完备度量空间上不动点定理的推广及应用展开探讨，成果丰硕；

杨柳于2017年对压缩映像原理在数列极限中的应用进行了探索；

4. 计划与进度安排

第一阶段：2019.12-2020.01

整理复习有关压缩映射原理的相关问题，并阅读参考的文献及课本。

第二阶段：2020.01-2020.02

5. 参考文献

[1]王静,纪培胜.矩形b-度量空间上新型θ-压缩映射不动点定理[j].青岛大学学报(自然科学版),2018,31(04):10-15.

[2]孙园园,周宗福.一类具有积分边界条件的分数阶微分方程的解[j].佳木斯大学学报(自然科学版),2019,37(01):152-155.

[3]曹丹.压缩映像原理的应用[j].白城师范学院学报,2018,32(06):9-12.