一类非线性波动方程解的性质开题报告

1. 研究目的与意义

波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。本文研究了一类具有线性阻尼和非线性源项的变系数波动方程Cauchy问题,由于这个非线性问题的显式解求不出来,因此对解的性质的讨论就很必要.利用凸性方法证明了初值、源项的增长阶数在一定的条件下解在有限时刻发生爆破,利用能量扰动法证明了在一定条件下解是整体存在的。

2. 研究内容和预期目标

本文拟在以前人的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些特殊矩阵做单独研究，再给出一些在经济学中的应用。

• 首先给出基础的理论内容，如：线性波动方程的基本定义，以及一些相关的性质，这些内容会在后续的解题过程中有所应用。

• 然后会继续讨论在，如：定义法、初等变换法以及一些特殊的方法。

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  3. 国内外研究现状

  叶耀君在2009年研究一类带有非线性阻尼项和源项的非线性波动方程的初边值问题,在阻尼项和源项较弱的假设条件下,应用m.aassila的方法证明了整体解的强渐近稳定性。

• 巴思莹在2009年研究了一类满足dirichlet边界条件及变量t具有周期条件的非线性波动方程解的存在性

• 韩英豪、张俊丽、齐宝新在2009年利用faedo-galerkin逼近方法证明了整体弱解的存在性;再通过函数f(t)=e(t) ε1φ(t) ε2χ(t)的估计,得到了能量的指数衰减性.

• 丁丹平、陈晨、刘馨琳在2010年利用形式常微分方程和半群理论对一类带有阻尼项和力源项的非线性波动方程进行了研究,得到当方程的非线性项满足lipschitz连续及连续可微条件时方程在有界区域上的经典解存在,并且进一步获得了方程整体解在无界区域上存在且唯一的结论.

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  4. 计划与进度安排

  第一阶段：2022.12-2022.01。整理有关波动方程解的有关知识，并阅读参考的文献。

  第二阶段：2022.01-2022.02。收集一类波动方程解的性质的应用实例，进行深入学习与整理，并构建好论文框架，完成整篇论文的初步模型。

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  5. 参考文献

  1. 裴金仙，一类非线性波动方程解的性质[j]. 中北大学学报：自然科学版, 2011，1

  2. 逯丽清，李胜家，冯红银萍。 一类非线性波动方程整体解的存在性[j].中北大学学报：自然科学版, 2011，1

  3. 杜心华. 一类非线性波动方程混合问题整体解的而存在唯一性[j].四川师范大学学报：自然科学版。1994，4

  4. 王云青，李梅玲.一类非线性波动方程解的整体存在性和衰减行为[j]。宁夏大学学报：自然科学版。2017，2

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