定积分的求解方法探讨及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

定积分起源于十七世纪的牛顿和莱布尼茨，十七世纪的数学界对于微积分的一些概念仍然模糊，理论基础不可靠，直到柯西成功建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了了通用的极限定义，微积分才有了坚实的基础。定积分的思想是一种“求和”的思想，这种求和不同于离散状态的求和，是一种连续状态的求和。主要是由化整为零到近似代替到取极限。我们的教材通过求曲边梯形的面积来定义定积分。通过分割、以直代曲、变连续为离散、取极限的方法，定积分概念逐步建立。定积分的创立是数学史上具有划时代意义的创举，是人类文明的伟大成果。定积分成为科学技术以及自然科学其他分支中被广泛应用的数学工具。在物理、化学、地理、经济等各个领域发挥着巨大的作用。

如今，经济的快速发展，科学技术的进一步革新，数学领域更要注重用现今的科学解决历史上存在的相关历史数学难题。随着大量的边缘学科的产生和发展，出现了不少新型的定积分模型，定积分在无线电、航天事业、经济预测、等方面得到了广泛的应用。因此如今研究定积分的应用并不过时，它可以帮助我们更深入的理解定积分在生活中的具体地位，以及未来的发展方向。

2. 研究内容和预期目标

本文拟在前人研究的基础上，总结归纳定积分的基础理论并对一些定积分模型做单独的研究，给出在求面积、体积、物理学等方面的应用。

首先给出定积分基础部分的理论内容。主要分两部分：其一，定积分的基本定义，相关重要定理的证明，给出各个定理得来源及其关系。其二，总结求解定积分的主要方法，分不同的类别归纳整理。主要分为奇偶性法、凑微分法、裂项法、变量替换法、三角代换法等。

然后对上述给出的各种求解方法应用于实际问题中求解旋转体体积、面积，应用于概率论中求解概率，应用于物理学中求解物理问题。

3. 国内外研究现状

1.吴红星、黄时祥、马江山、丁鹏、黄美春几人在2017年研究了不定积分若干求解方法，详细探讨了凑微分法、拆微分积分法和分部积分法的应用，是定积分的基础。

2.杜玉平在2018年对定积分从七个方面研究总结求解方法，根据函数在积分区间的不同特征，找到对应的解题方法和技巧。

3.陈辉、吴杰在2018年研究了将定积分转化为二重积分，然后利用二重积分区域的对称性进行考察，将几何直观与定积分的计算结合起来，解释了定积分换元中的对称性。

4. 计划与进度安排

第一阶段：2022.12-2022.01

整理有关定积分的相关内容，并阅读参考的文献及课本。

第二阶段：2022.01-2022.02

5. 参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[m]. 北京：高等教育出版社，2001.

[2] 李林曙. 经济数学基础微积分[m]. 北京：高等教育出版社，2010.

[3] 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[ m] .北京:高等教育出版社, 2002.