特殊多项式的算术性质开题报告

1. 研究目的与意义

正交多项式是由多项式构成的正交函数系的通称，从17世纪开始，正交多项式的性质就一直备受数学家们的关注，至今已经发展成为了一门学科。而在现代社会中，正交多项式有着广泛的应用，较为常见的有：用正交多项式作最小二乘曲线拟合，应用在平方逼近中，正交回归多项式用作一种有效的统计方法；在上述较为基本的应用的基础上，慢慢延申出其在各个领域的应用，如：舰船电子工程，自然科学，物理学，计算机科学，交通科技与经济，农业科学，计量测试，大地测量与地球动力学等。

作为一名应用数学系的学生，从大一的高等代数，到后来的代数学选讲，接触多项式的时间越来越长，慢慢开始对其产生了兴趣；在日常学习中，通常能接触到的和正交多项式有关的内容仅限于求解方程组的正交基底时所学的Schmidt正交化，由此对正交有了基本的了解；在本科阶段主修的几门数学学科专业课中，我个人最喜欢的就是高等代数，所以在此毕业论文的选题之际，我怀着热爱和求知的欲望选择了这门《特殊多项式的算术性质》。希望借此机会浏览更多的相关知识，了解该课题的发展历程及其在当下的应用。

2. 研究内容和预期目标

本文主要研究内容是经典正交多项式的性质及其应用，以及 q-正交多项式的部分理论知识；拟解决的关键问题是关于正交多项式性质及应用的讨论和归纳总结。

本文主要内容分为四个部分，具体如下：

第一部分：正交多项式的研究背景；

3. 国内外研究现状

国外：

1835年murpy给出经典正交函数（最初称为互反函数）的定义；

1855年chebyshev研究了两类chebyshev多项式，开启了多项式研究的大门；

4. 计划与进度安排

1．2022年11月15日前: 完成选题与老师沟通交流；

2．2022年11月27日前：完成开题工作；

3．2022年3月10日前：完成初稿和中期检查工作；

5. 参考文献

[1]g. e.andrews, r. askey and r. roy special functions, cambridge univer-sity press,cambridge, 1999.

[2]r.murphy,second memoir on the inverse method of definiteintegrals,trans. cambridge phil. soc.5(1835),113-148.

[3] t.j.stieltjes, recherches sur les fractions continues,annales de la faculte des sciences de toulouse,8(1894),11-122; 9(1895).ai-47:oeuvres, vol. 2,398-566.