凸函数与不等式的应用开题报告

1. 研究目的与意义

凸函数是数学领域中一类重要的函数，如jensen所说：“凸函数的概念似乎对我而言，恰似正函数或递增函数那样重要，若我对此我未谬解，则该概念理当于实函数论里有其基本阐述。

” 如今已由函数的凸理论发展而成一门独立的数学分支：凸分析，其概念和方法在数学的各分支中都有广泛的应用，特别是在最优化理论，极值问题等分析数学，凸规划，整函数论，运筹学等领域发挥着越来越大的作用，凸函数与几何也有非常密切的联系，如几何测度论和边界结构等，同时还在不动点理论和临界点理论等许多学科中也时常遇到。

凸函数具有许多很好的性质，函数的凸性是证明不等式的基本工具之一，例如使用率很高的著名不等式：jensen，holder，minkowski和hadamard不等式就是建立在函数的凸性上的，如上不等式的应用使得很多数学证明巧妙又简洁，在很多证明中起到了重要的作用，holder和minkowski不等式更是建立lp空间的基本工具，在复变函数论和变分计算等分支的发展中离不开几何不等式。

2. 研究内容和预期目标

本文主要研究凸函数、几何凸函数、与凸函数和几何凸函数相关的各类不等式及不等式的应用。

本文拟在以前人对凸函数的研究为基础，总结归纳凸函数的理论部分，介绍并证明一些重要的有关凸函数的不等式，再给出一些凸函数与不等式在数学中的应用。

3. 国内外研究现状

2017年，受刘培杰数学工作室的举荐，得国家出版基金的赞助，石焕南的《schur凸函数与不等式》一书由哈尔滨工业大学出版社出版，与《受控理论与解析不等式》比较，该书的参考文献新增了近160余篇，还新增了“schur凸函数与几何不等式”等章节。

2017年noor m a，noor k i，safdarf给出了广义几何凸函数的概念，在定义域形式上推广了η凸函数，在不等式定义形式上推广了ga凸函数。

2016年gordji m e，delavar m r，delasen m给出了η凸函数的定义

4. 计划与进度安排

第一阶段：2022.12-2022.01

复习并整理有关基本凸函数的定义及相关定理，复习有关凸函数不等式的有关知识及其证明，收集与凸函数、几何凸函数相关的参考文献和书籍。

第二阶段：2022.01-2022.02

5. 参考文献

[1] 匡继昌.凸函数理论的最新进展[j].广东第二师范学院学报,2018,38(03):14-24.

[2] 徐建中.凸函数性质在不等式证明中的应用[j].重庆科技学院学报(自然科学版),2018,20(03):82-84 93.

[3] 曹泽龙.凸函数与不等式[j].中学数学月刊,2017(06):64-66.