等价关系与商结构开题报告

1. 研究目的与意义

该题目--等价关系与商结构--涉及到了抽象代数及拓扑学两门高等的数学的一个核心概念：商结构，选此题可以对整个大学数学做一个总结。该题目研究的是高等的数学范畴：结构，选此题可以对我整个的数学思想做一个升华。

在现代数学的思想里，倾向于把结构作为数学科学的核心研究对象。此思想影响至为深远，而大学数学涉及之处却是狭窄而浅薄的，甚为可惜。为此，我选此题以表明我对这一伟大现代思想的追随与重视。以进化自己的数学体系，而不是停留在几百年前甚至千年之前的数学水准上面。也是适应整个现代化的大势。

在整个数学科学里面，其精髓实在抽象二字，从脱离具体之物而得到的自然数开始，整部数学史实在是一部不断抽象化的历程。故，懂了抽象，便懂了数学，便得了数学的精髓。在我看来最抽象的--在大学阶段而言--拓扑学与抽象代数里面，商结构--商群、商环、商拓扑空间--又是最抽象的。因而，我想对这最体现大学数学精神的题目做一个研究。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：等价关系；商集；商群、商环、商拓扑空间等商数学结构。

待解问题：梳理商数学结构的由来--沿着关系这一初始概念，进而至等价关系，至商集，至商结构；

对大学数学中的各种商结构进行分类；

3. 国内外研究现状

因为我的选题是一个基础数学中的基础的题目，故，国内外的近期研究已经甚为深入、透彻、完善。而相对于大学数学课程而言，所研究的商结构更复杂、更深入、更高阶。如Hilbert代数的商结构研究，超格的商结构研究，超K代数上的模糊正则商结构等等。这些商结构涉及到更高阶的数学知识，如Hilbert代数、超格代数、超K代数等等，其内容深度远远超过了大学数学所学。

4. 计划与进度安排

2022年12月13日至2022年1月15日：完善开题报告与提纲，翻译出相关材料

2022年1月16日至2022年4月13日：撰写毕业论文初稿及修改

2022年4月14日至2022年4月25日：论文中期检查，撰写论文二稿

5. 参考文献

[1]james munkres. topology[m].北京：机械工业出版社，2004.

[2]刘紹学.近世代数基础[m].北京：高等教育出版社，2012.

[3]李继成.剩余幺半群的商结构[j].纯粹数学与应用数学，1995，01.