张量及其在图像去噪中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

一、背景： “张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。张量在19世纪初期就已作为一个物理概念出现于相对论、流体力学、动力学和电磁学等科学领域，它作为数学名词的出现是在十九世纪，由gauss、 riemann和christoffel等人在研究微分几何学时提出；二十世纪初, ricci, levi-civita等人将张量分析发展成一个数学分支。1916年，爱因斯坦应用张量研究并提出划时代的广义相对论，使张量分析成为研究理论物理、力学及其他学科的重要工具。从2005年以来，香港理工大学祁力群教授和美国芝加哥大学的lek-heng lim等人开始研究张量定义了张量的特征值，由此开始了对张量谱性质以及结构张量的系统化研究。

二、目的： 在过去的几十年中，很多应用都需要处理大量的多维数据。未压缩的多媒体数据需要相当大的存储容量和传输带宽。尽管在海量存储密度、处理器速度和数字通信系统的性能方面取得了快速进展，人们对数据存储容量和数据传输带宽的需求仍不断超越现有的技术能力。最近由于数据密集的多媒体 web 应用的增长，不仅持续需要更有效的方式来编码信号和图像，而且信号和图像的压缩已成为存储和通信技术的核心部分。目前张量已经开始应用于图像与信号处理、医学和生物工程等诸多应用领域。成像设备获取的图像会不同程度地受到噪声影响。尽管先进的光学器件试图将这些影响去除，但受价格和光圈大小的限制，使基于硬件的图像去噪方法的普及变得困难。相反，基于软件的图像去噪方法由于廉价易用等特点而变得越来越流行，并已成为现代图像与视频处理领域的一个重要组成部分。图像去噪既可以看做信号滤波过程，也可以看做点估计过程，因此，可以利用不同领域的知识和方法来解决该类问题。

三、意义： 本选题将首先了解张量研究的背景、张量各分支发展历史和张量研究的几个基本问题，掌握有关张量基本概念和运算，熟悉张量秩分解和奇异值分解，结合软件、运用这些方法解决计算机科学中的图像去噪、图像前景背景分离和图像压缩等问题。而图像去噪是图像处理的难题，其难点是在尽量滤除噪声的同时对图像信息进行保持。

2. 研究内容和预期目标

一、主要研究内容：1. 阐述张量发展各阶段、张量研究的几个方面和基本问题研究现状；2. 掌握线性代数中矩阵分解、低秩近似、稀疏矩阵等相关知识；3. 比较张量与矩阵的区别和联系；4. 将矩阵特征值、特征向量、特征多项式、秩、实对称矩阵推广至张量的情形；5. 熟悉张量秩1分解、非负张量分解和SVD分解，并运用于图像处理方面；6. 分析不同参数下的去噪效果。

二、预期目标：1. 通过MATLAB和理论推导掌握矩阵分解和张量分解基本方法；2. 通过线性代数、数值分析和Matlab模拟生成低阶张量；3. 将图像序列或视频流转化为张量进行保存；4. 计算图像、视频流张量形式下的特征值和奇异值；5. 选取适当参数以达到图像去噪的效果。

3. 研究的方法与步骤

一、研究方法： 结合所学数学理论知识、收集资料，通过阅读和整理有关张量的背景知识和基本问题，了解张量研究的主要方法和应用，并能够通过MATLAB生成一些低阶张量，通过一些具体的实例实现张量的特征值计算和图像处理等。同时利用所学的信息与计算数学的基础知识，在指导老师的指导下，通过算法的设计、改进和完善，实现图像的多目标操作 传统的去噪方法主要是通过对有效秩的确定来去除一部分小的奇异值，再重构图像矩阵作为原始图像的近似，进而去除噪声，但是这样会造成一定的信息丢失，同时由于噪声对奇异值的影响是全局性的，这种去噪过程也不能达到很好的去噪效果。基于此，本文将基于张量分解，对奇异值进行处理去噪的方法—HOSVD去噪方法。因为图像受到噪声污染可以看成是图像矩阵的扰动，最后，再重构图像张量实现较好的去噪效果。

二、研究步骤：1. 掌握矩阵分解、低秩近似、稀疏矩阵等相关知识2. 通过MATLAB生成矩阵、张量，并将所学知识进行模拟；3. 获取图像序列（一般是同一个类型的，如人脸图像序列、景物图像序列等）；4. 通过MATLAB对该图像序列进行初始化，如大小一致化、中心化、标准化等；5. 将初始化后的图像序列生成一个多维度张量；6. 通过张量分解，去除含有噪声的部分，再将图像还原；7. 选取不同类型的图片，在不同参数下仿真对比，比较其去噪效果。

4. 参考文献

[1] T. G. Kolda and B. W. Bader. Tensor Decompositions and Applications, SIAM Review,51(2009) 455-500.[2] A. Pinkus. Totally Positive Matrices, Cambridge Univ. Press, B. Bollobas etc Ed., 2010.[3] Liqun Qi. Eigenvalues of a real supersymmetric tensor, Journal of Symbolic Computation, 40(2005) 1302-1324.[4] Liqun Qi. Hankel tensors: Associated Hankel matrices and Vandermonde decomposition,Communications in Mathematical Sciences, 13(2015) 113-125.[5] L. Qi, C. Xu and Y. Xu. Nonnegative tensor factorization, completely positive tensors and an hierarchically elimination algorithm, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 35(2014) 12271241.[6] T. Rowland. Vandermonde matrix, Wolfram Mathworld, http://wolfram.mathworld.com/GeneralizedVandermondeMatrix.html (accessed April 22, 2015).[7] J. Shao, H. Shan and L. Zhang. On some properties of the determinants of tensors,Linear Algebr. Appl., 439 (2013) 3057-3069.

5. 计划与进度安排

1. 4-14周 2022年03/10-05/23：毕业论文写作，学生按开题报告撰写论文；2. 11-13周2022年04/28-05/16：中期检查，汇报课题进展，论文中期检查；3. 13-14周 2022年05/12-05/23：完成论文初稿，论文初稿修改；4. 14-15周 2022年05/19-05/30：论文打印、审阅、定稿；5. 16周 2022年06/03-06/06：论文评阅；6. 17周 2022年06/07-06/11：论文答辩。