反例在数学分析学习中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一个问题苦思冥想而不得解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功，用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题，它不仅是解决问题的有利手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。

数学分析是数学专业的一门基础性学科，在自然课程中占有绝对基础的地位。数学分析中存在大量的反例，当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题。反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有深刻的意义。

反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用，恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，起着十分重要的作用。本文将针对这个问题，深入细致的研究数学分析中的很多问题的反例，系统的对数学分析中的反例进行总结，并通过具体实例说明反例在数学分析中的应用,进一步加深学生对概念、定理、公式的理解。

2. 研究内容和预期目标

本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论函数的连续、有界、周期等性质的反例；一元函数微积分主要讨论了中值定理等反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分讨论了累次极限，累次积分等反例。

举出相应反例可以加深学生对数学概念、定理、法则、公式的理解以及纠正学习中的错误，有利于激发学生对学习数学分析的兴趣，培养学生的创新能力和创新意识。

3. 研究的方法与步骤

数学分析中有许多重要的典型反例，这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。所以论文的主要研究方法就是通过总结不同的反例在数学分析学习中的几个重要作用，以及使我们认识反例的有力地位。

（1） 收敛数列的性质及反例

（2） 函数极限与性质的反例

4. 参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[m].北京:高等教育出版社,2001.

[2]汪林.数学分析中的问题与反例[m].云南：云南科技出版社,1990.

[3]明清河.数学分析的思想与方法[m].济南:山东大学出版社,2004.

[4] 同济大学应用数学系．高等数学（第六版）．北京：高等教育出版社，2007

5. 计划与进度安排

3月14日—5月20日，论文写作阶段。在这期间，学生每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况，且4月18日—4月29日，毕业论文中期检查，学生重点向指导老师汇报论文进展情况和遇到的困难；

5月15日前，完成论文的初稿；

5月29日前，毕业论文定稿打印；