关于拓扑空间的覆盖性质开题报告

1. 研究目的与意义

拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。Topology原意为地貌，于19世纪由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。所谓拓扑变换就是一一对应的双方连续变换。通常的初等几何是研究图形经过刚体变换后仍保持不变的性质，所以叫做刚体几何。射影几何研究图形在射影对应下不变的性质。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，拓扑学就已经出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑池等分支。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题，这些都是“拓扑学”的先声。

覆盖与映射的方法是一般拓扑学中的重要通用工具，吸引了许多的国内外学者。其中著名的拓扑学家Arhangel’skii指出：一般拓扑学致力于拓扑空间及连续性的研究，有三个主要的“内在”任务，一是不同拓扑空间类的比较，二是确定类的研究，三是为上述目的及应用的需要定义出新的概念和空间类。任务一需要联接空间的映射方法，可以直接建立不同空间类的联系，任务二则涉及空间类关于运算的性质，而覆盖的方法对完成上述任务起重要的作用。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容：

本课题基于一般拓扑学中的覆盖与映射理论研究，其重要意义在于利用

空间与映射的分类原则，用覆盖和映射的方法作为工具从而揭示各种拓

3. 研究的方法与步骤

研究方法：文献分析法。参考大量有关文献，并对其进行归纳、分析等。

步骤：

1. 查阅映射空间理论的有关书籍和文献，了解和掌握有关的较新的学术动态；

4. 参考文献

[1] 熊金城，点集拓扑讲义（第三版）[m]，高等教育出版社

[2] 江泽涵，拓扑学引论[m]，上海科学技术出版社

[3] 李孝传 陈玉清，一般拓扑学导论[m]，人民教育出版社

5. 计划与进度安排

1、2022年11月16日~2022年2月22日，学生根据指导教师的要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

2、2022年2月22日~3月6日，指导老师下达毕业论文任务书，向学生布置论文工作要求；3、2022年3月1日 ~ 3月13日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；

4、2022年3月14日 ~ 5月20日，论文写作阶段。在这期间，学生每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况；