极限、导数、积分运算中抽象函数的应用开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

我们知道，抽象函数概念是实函数概念的推广，对抽象函数性质的研究应参考实函数分析性质的研究进行，如研究函数的极限理论、函数的微分学和积分学性质等等。而极限问题、求导运算、积分的运算和证明是整个微积分学的基石，在我们的教材中已经对上述这些问题有了充分的阐释，使用的方法也是基本且有效的。但是教材中关于上述问题的研究往往局限于具体给定函数，在本课题中我们希望将抽象函数运用于上述问题。但由于一般抽象函数的值域所在空间的拓扑结构具有一定的复杂性，给抽象函数的研究带来了一定的困难，往往不能获得与数学分析理论相平行的漂亮结果。因此，对抽象函数理论及应用的研究还有很多工作要做。

2. 研究的基本内容和问题

本课题主要研究极限、导数、积分运算中抽象函数的应用，而从定义上可以看到 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。 对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。【1】，我们可以把求导、积分的运算转化为极限的运算。因此要想将抽象函数运用在上述问题上，我们首要的研究目标是解决抽象函数的极限问题，再特定地研究（求导定义）、（积分定义）形式的抽象函数的极限问题。

我们预期从抽象函数在极限运算上的应用出发，给出一些特定例子中抽象函数的极限运算方法，并将其拓展至求导、积分的运算上，并从中总结出所有极限、导数、积分运算中抽象函数的应用的例子及其解法。

3. 研究的方法与方案

运用定义法或洛必达法则等方法求抽象函数的极限

4. 研究创新点

华东师范大学《数学分析》

复旦大学《数学分析》

华东师范大学《数学分析习题课讲义》

5. 研究计划与进展

1.阅读相关领域的文献，对其关键部分进行归纳总结(3.22~4.10

2.查阅更多资料，完成对论文的初步构想（4.11~4.21

3.对一些特定例子做研究并找到解决方法（4.22~5.1