从群作用角度看向量空间的线性变换开题报告

1. 研究目的与意义

背景：群是认识现实世界最深刻的规律性之一，也是研究对称性的有力武器。研究群的结构的一个重要方法是考虑群在一个集合上的作用，也就是通过群到集合上的全变换群（它由集合到自身的所有双射组成）的同态来研究群的结构。特别地，如果把集合换成域上的向量空间上的作用，也就是考虑群到向量空间上所有可逆线性变换形成的群的同态，那么效力会更大。这就是群的表示。通过研究群在各个向量空间上的作用来研究群的结构，是一条富有成效的途径。有限群的表示论与向量空间的基域有密切联系。有限群的常表示论的研究始于1896年，由fronenius开始研究；有限群的模表示论的研究始于1935年，由r.brauer开始研究的。此外，群表示论还在数学的许多分支以及其他自然学科分支中有重要作用。譬如，人们早已知道，在量子力学、结晶学、量子化学等领域里，群表示论是一个强有力的工具。又如，在纯粹数学的分支中，抽象强调和分析本质上是群表示论。再如，在最近几十年，计算机技术的发展日新月异，计算机在社会中迅速普及，由此引起离散数学的勃兴，作为离散数学的重要分支组合数学，在最近几年也越来越多的使用群表示论这一有力工具。还有，信息时代需要的编码和密码，也要用到群表示论。可以预测，群表示论的应用范围将越来越广泛。

对本人而言，选择此课题是由于觉得群和向量空间之间的联系很有趣；另外学习了抽象代数的课程，个人感觉对二面体群的结构的理解不够透彻的，想更加透彻的理解一下二面体群。所以就从二面体群的线性表示的角度去研究向量空间的特征。如果可以找到一个二面体群比较好的线性表示的话，二面体群里面的一个元素就可以用矩阵来表示。

目的：群表示的定义中给我们的一个重要结论：抽象的群论可以和具体的向量空间的线性变换的理论建立关系。这就引发了本论文的一个研究目的：如何将群中有趣的结论和向量空间的线性变换的很多有趣结论通过群同态建立关系？也就是在掌握群、向量空间、群的有限维表示等定义的基础上，探究群的性质，思考怎么用群中的线性变换去研究群中的抽象元素？或者可否通过群的正规子群去研究v中的一些特殊子空间？

2. 研究内容和预期目标

内容：抽象的群论可以和具体的向量空间的线性变换的理论建立关系。本论文从群角度看向量空间的线性变换，即研究如何将群中有趣的结论和向量空间的线性变换的很多有趣结论通过群同态建立关系。也就是在掌握群、向量空间、群的有限维表示等定义的基础上思考怎么用群中的线性变换去研究群中的抽象元素。

预期目标：通过将抽象的群论和具体的向量空间的线性变换的理论建立联系，即找到具有特殊性质的群同态（单射、满射、同构）研究群中的元素和向量空间线性变换对应关系，从而可以在群论的基础上研究向量空间的一些特殊子空间。

3. 研究的方法与步骤

1.查阅与群表示和本文所涉及的知识相关的资料，并对数学思想方法的进行详细、全面、系统地文献解读和分析。

2.遇到问题，拟解决的方法，再进行运算，最终解决问题。

3.和指导老师讨论论文思路，遇到不能解决的问题向知道老师请教。

4. 参考文献

1. 丘维声 编著. 抽象代数基础(第二版)[m]. 高等教育出版社，2014.

2. 邱森 编著. 高等代数(第二版)[m]. 武汉大学出版社，2012.

3. 丘维声 编著. 有限群和紧群的表示论 [m]. 北京大学出版社，1997.

5. 计划与进度安排

1. 2022年12月9日~2022年2月24，确定选题，收集整理文献资料；

2. 2022年2月24日~2022年3月1日，指导老师下达毕业论文任务书，向学生布置论文工作要求；学生根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

3. 2月24日~3月8日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；