模m剩余类群的有限维表示开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景

群论是由法国数学家伽罗瓦（galois）创作出来的。群论属于数学的重要分支，也在物理学，化学，计算机科学上有广泛的应用，还有安德鲁·怀尔斯(andrew wiles)利用群论中的群表示结论证明了数论中历史悠久的"费马大定理"。群表示理论除了在费马大定理的证明中有所涉及，它还用于对一些群结构及性质进行表示。

群论里面的群的结构是一个公认很难的数学分支，其中有5钟群要深入讨论：阿贝尔群（也叫交换群abel groups），二面体群（dibedral groups）,对称群（sysmmetric groups），交错群（alternating groups），和简单循环群（cyclic groups）。阿贝尔群是抽象代数中基本群之一，它基本的研究对象是模和向量空间，阿贝尔群比其他类群理论要简单一些，有限阿贝尔群已经被彻底研究，而无限阿贝尔群是目前正在研究的领域。二面体群是抽象代数中具体的一类群可见也已经被彻底研究，而且对称群包含着二面体群，交错群是置换群的一种也已经被数学家研究彻底了。最后的简单循环群是一类很重要的群。根据生成元阶的情况，循环群分成两类: 有限循环群和无限循环群。循环群一定是阿贝尔群，它的子群和商群也都是循环群，

2. 研究内容和预期目标

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，其抽象性在信息瞬间万变的当今社会尤为需要，能够帮助我们如何从错综复杂的事物中抽象出实质的东西，如何分析突如其来的事件背后的本质原因，进而得出其一般的规律。本文研究模m剩余类群这一类特殊群的有限维表示，不断通过举例来得到特殊结论，再由特殊到一般，得到规律。同时也要借助向量空间，将抽象变为具体，从具体中看出其规律性，基于此，本论文想要探究出模m剩余类群这个有限维循环群的群表示，并思考群表示的某些特性及模剩余类群在群表示下所凸显出的性质。

3. 研究的方法与步骤

本文所用到的方法是文献研究、探索分析、比较研究。

本论文的基本步骤可分为四大步。其中第一步是对于本论文研究所用到的预备知识进行整理并加以阐述。第二步是模m剩余类群进行分类，将所要研究的这一类群按照其基本性质分为两类。第三步是分别对这两类群进行分析建立合适的群表示。第四步是总结出他们的差异，上升为规律。

4. 参考文献

[1]向建国.近世代数中群定义的再认识[j].智库时代,2019(10):204 206.

[2]杨波.关于“模m剩余类群”的教学探究[j].科技视界,2016(04):20.

[3]柴凤娟.代数学基本定理的几种证明方法[j].数学学习与研究,2019(10):84-85.

5. 计划与进度安排

1. 2022年12月9日-2022年2月24，确定选题，收集整理文献资料；