凸体的Winternitz对称度开题报告

研究背景：

柏拉图说“上帝总在使世界几何化。”几何是数学的一个重要分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域的关系以及空间形式的度量，几何是直观的，它最大的特点是直觉性。本论文选题是凸几何中凸体的结构对称性问题。

凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的一门现代几何学的一个重要分支，它以微分几何、泛函分析、测度论、偏微分方程、概率论、调和分析、离散几何和拓扑学为基础。萌发于19世纪下半叶，形成于20世纪初，并在20世纪末蓬勃发展起来，H.Brunn 和 H.Minkowshi 是两位杰出的奠基者。20 世纪30年代，前苏联著名数学家 A.D.Aleksandrov 以及 T.Bonnesen 和 W.Fenchel 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支。在非线性分析中，凸体几何是与非线性泛函、凸分析、优化、概率、信息处理等密切相关的一个研究领域。 它主要包括：Brunn-Minkowski 理论， Banach 空间局部理论，现代凸几何理论等。

对凸集结构形状研究的一个重要内容是凸体的各种对称性（中心对称、轴对称、 旋转对称等），其中对凸体的中心对称测度的研究有着很长的历史，1911 年在 H.Minkowski的文章《Allegemeine Lehrsatze uber konvexe polyeder》中就出现了, 只 是 没 有 提 出 专 门 的 术 语 。 在 这 之 后 出 现 了 Winternitz （非） 对 称 度 、 Kovener-Besicovitch （非）对称度、Estermam （非）对称度等等。本文最后将研究特殊凸体Winternitz对称度。

下面我们对凸体几何结构研究的主要内容做一个概述。

（1）1963年B.Grunbaum在其综述性文章《Measure of Symmetry for Convex Sets》中首次提出了凸体对称度概念：定义在全体n维凸体上的一个实值函数f称为一个仿射（相似）不变对称（测度），如果：

1. 0 ≤ f (C) ≤1，任意凸体C Rn；

2. f (C) =1，当且仅当C 为n 维对称凸体；

3.对任意Rn上的非奇异仿射（相似）变换T ， f (TC) = f (C)；

4. f (C)为C 的连续函数（在 Hausdorff距离下）。

（2）Winternitz对称度定义：

设C Rn为一有界闭凸集。对于任一x∈intC及任一经过x的超平面H，令f（x，H）表示由H分成的两部分的（不大于1）的体积比，那么

F2（C）=max{min f（x,H）：x∈intC，x∈f}

称为Winternitz对称度。

研究目的及意义：

其可能在体视学、随机几何、积分几何、信息论、非线性PDE、 数论、微分几何、Banach空间理论、组合论等数学学科和体视学、数理经济学、物理学、医学、机器人学等应用科学中都有广泛的应用。

[1]GrünbaumB.Measures of symmetry for convex sets[C]//Convexity,Proceedings ofSymposia in Pure Mathematics7.Providence:American Math Society, 1963:233-270.

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[9]Guo Q , Toth G. Dual mean Minkowski measures and theGrünbaumconjecture for affine diameters [J].Pacific J Math, 2017,292:117-137.

1.2022年2月25日-3月10日，完成开题报告；

2.2022年2月25日-3月24日，阅读凸体几何的主要文献；

3.2022年3月25日-4月24日，整理凸体（非）对称度的主要研究成果；

4.2022年4月15日-4月28日，中期检查；

5.2022年4月24日-5月19日，研究特殊凸体的Winternitz对称度；

6.2022年3月11日-5月31日，撰写论文初稿；

7.2022年5月20日5月31日，完成定稿；

8.2022年6月8日-6月14日，论文答辩，整理材料。