凸体的对偶平均Minkowski非对称度开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：

凸几何分析起源于19世纪末，20世纪初，也可称其为凸体几何和凸分析。凸分析是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，利用几何和分析的工具研究几何结构和凸集不变量，在信息论、计算机图形学、数学规划、优化问题等领域有着广泛的应用。

1911年，h．minkowski为了研究凸体是否对称以及凸体中一些特殊的点（如临界点），提出了一个仿射不变量，也就是（非）对称度。在h．minkowski提出这类不变量后，有许多学者继续对其进行研究。1963年，grünbaum在其综述性文章中整理归纳了前人的研究，列出了若干重要的对称性测度，其中最著名的是minkowski对称度。同时在文章中，grünbaum抽象出凸体（非）对称性测度的概念。在这之后，人们从不同角度对非对称度进行了研究，研究内容主要包括了以下几个方面：对称度临界点集的性质，对称度的上下界以及对应的极值体，对称度的稳定性问题，对某些特殊的凸体(如等宽体)进行研究。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

1. 凸体几何研究背景介绍；
2. 凸体非对称度的研究现状与进展；
3. 凸体的对偶平均minkowski非对称度研究

预期目标：

通过研读文献获得足够的理论知识储备，对凸体几何的背景有深刻全面的了解。同时结合国内外学者的研究成果，对凸体非对称度的主要知识点进行整理归纳，能够掌握并运用其性质与结论，利用特例分析法的研究方法，探究凸体的对偶平均minkowski非对称度。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

文献研究法、归纳总结法、特例分析法等方法开展本课题的研究。

研究步骤：

4. 参考文献

1. Grünbaum B. Measures of symmetry for convex sets[C]// Convexity, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 7. Providence: American Math Society, 1963: 233-270.
2. Toth G. Measures of Symmetry for Convex Sets and Stability[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2015.
3. Klee V L Jr. The critical set of a convex set[J]. Amer J Math, 1953, 75: 178-188.
4. Chakerian G D, Groemer H. Convex bodies of constant width[C]// Convexity and Its Applications, Basel: Birkhuser, 1983: 49-96.
5. Soltan V. Affine diameters of convex bodies—a survey[J]. Expo Math, 2005, 23: 47-63.
6. Jin H L, Guo Q. Asymmetry of convex bodies of constant width[J]. Discrete Comput Geom, 2012, 47: 415-423.
7. Jin H L, Guo Q. A note on the extremal bodies of constant width for the Minkowski measure[J]. Geom Dedicata, 2013, 164: 227-229.
8. Schneider R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
9. Guo Q , Toth G. Dual mean Minkowski measures and the Grünbaum conjecture for affine diameters [J]. Pacific J Math, 2017, 292: 117-137.

5. 计划与进度安排

1. 2022年2月25日-3月10日： 完成开题报告，并由指导老师审定；
2. 2022年2月25日-3月24日：阅读凸体几何的主要文献；
3. 2022年3月25日-4月24日：整理凸体非对称度的主要研究成果；
4. 2022年4月15日-4月28日：中期检查，汇报课题进展情况；
5. 2022年4月24日-5月19日：研究凸体的对偶平均Minkowski非对称度研究；
6. 2022年3月11日-5月31日：撰写论文初稿；
7. 2022年5月20日5月31日：完成定稿；
8. 2022年6月8日-6月14日：论文答辩，整理材料。