关于有理函数和无理函数的积分方法开题报告

1. 研究目的与意义

积分理论是研究函数的积分以及有关概念和应用的数学分支，是建立在实数、函数和极限的基础之上的。积分在实际生活中几乎无处不在，可以说和我们的生活密切相关，积分的应用可以体现在生活中很多不同的方面。积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，有着越来越广泛的应用，甚至会影响着其发展的方向和速度，特别是在计算机的发明之后，我们在这些学科中无处不见积分理论的身影。而积分理论与各个学科紧密联系的纽带积分方法则是我们首要解决的问题，只有掌握了积分方法，我们才能够应用积分理论去解决这些学科的相关问题。

在学习积分理论时，我们首先从不定积分的定义及性质出发，建立了一些计算不定积分的基本方法，所有这些方法都是从个别的具体求积分过程中总结出来的，因此，这些方法本身并不能确切告诉我们计算一个不定积分时应该按照什么样的途径进行，要使计算成功，往往取决于计算者的熟练程度和技巧。然而，我们对可积的函数加以分析和归类，就可以发现可积的函数类中有几大类函数完全可以按照固定程序和步骤去计算不定积分。这样，我们在计算不定积分时就可以针对被积函数的类型采用相应的方法，从而做到有法可循，在一定程度上克服了计算积分的盲目性。首先，我们应该研究按照什么样的原则把能按固定程序去积分的几类函数划分出来。我们可以根据初等函数在其连续区间上能否积出来的标准划分为两大类：一类可求积，另一类不可求积。事实上，对一些非常简单的初等函数往往出现不可求积的形式。因在理论上可以证明这些不可求积的积分已不能用初等函数表示出来（证明已超出普通微积分的范围），这样，我们就可以把函数的积分结果仍能用初等函数表示出来的那些初等函数加以分类，主要有一下三种：一切有理函数；三角有理函数；某些简单无理函数。掌握这三类初等函数的积分方法，对于一些积分问题就迎刃而解。

由此，本课题主要研究总结分析学中有关有理函数积分方法和无理函数的可积性理论。有理函数的积分方法基本上已经解决了，由于连续函数的原函数并不一定都是初等函数，在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能求出来的，因此，研究无理函数的积分方法有助于我进一步认识和理解积分理论。一般说来，无理函数的积分十分复杂，有些无理函数甚至无法求出有限形式表示的原函数。有些比较复杂的无理函数的积分，用传统的方法求解有困难，甚至无法积分出来。本课题将通过系统阐述积分理论的发展过程以及对各种有理函数和无理函数的积分方法的研究，进而探讨使用较巧妙的积分方法解决某些无理函数无法积分的问题。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容分为三部分：

1.叙述积分学的萌芽、发生与发展过程；

2.阐述积分理论在分析学中的重要地位和在实际应用中的重要性；

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

文献研究法：以传统文献搜索手段为主，辅以网络等手段，开展资料收集、数据整理等工作，然后进行论文写作。

研究步骤：

4. 参考文献

[1]marvinl.bittinger.微积分及其应用[m].杨奇，毛云英,译.第八版.北京:机械工业出版社,2006.

[2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第二卷第一分册）[m].北京大学高等数学教研室,译.人民教育出版社,1956.

[3]华东师范大学数学系.数学分析[m].北京：高等教育出版社,2001.

5. 计划与进度安排

（1）2022年11月17日至2022年3月2日：根据指导教师的要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

（2）2022年3月2日至3月13日：根据指导老师下达的毕业论文任务书里的论文工作要求，梳理相关参考资料；

（3）3月9日至3月20日：完成开题报告，开题报告按学校规定要求填写；