单调集值测度空间上的原子、伪原子及积分应用开题报告

1. 研究目的与意义

单调测度是指在空集处取值为零的单调集函数,一直以来，受到众多学者关注，取得了丰富的研究成果。作为测度论中的重要概念，原子理论在单调测度论中也得到了广泛的研究，并取得了重要的进展。

1991年,suzuki首先提出了模糊测度的原子概念，并对其基本性质作了研究。1994年，pap又对非可加条件下集函数的原子进行了讨论。1995年，jiang、suzuki在文[3]和文[4]中进一步讨论了模糊测度空间上原子的一些性质。2000年，吴从炘与吴冲[5]进一步修正和完善了pap在[2]中提到的有关原子的saks分解定理。随后，吴从炘与孙波,alinagavrilut和ancacroitoru又提出了伪原子的概念,并且讨论了伪原子的一些性质,同时举出大量实例辨析原子与伪原子的关系。2013年，吴从炘、赵治涛详细讨论了单调测度空间上原子的性质。2014年,李军等人[9]研究了弱零可加单调测度空间上原子的性质。

原子的特性也可以反映在定义在其上的积分的性质中。模糊测度空间上的积分是单调测度空间上积分的最典型特例之一，suzuki在文献[1]中给出了现在被称为（s）积分的概念，并讨论了原子集上（s）积分的部分性质。除了（s）积分外，另一类研究较多的积分称为（n）积分，它是由赵汝怀在1981年给出的。1991年,吴从炘、马明[11]进一步研究了模糊测度空间上的(n)积分。随后，（n）积分得到了大量的研究和广泛的应用。2006年，黄艳在其博士论文上研究了模糊集上以及l模糊集上的(n)模糊积分和广义实值函数的(n)模糊积分。2008年，郝娜、王贵君利用-截断函数的定义,得出了广义(n)模糊积分的积分转换定理和表示定理。

值得注意的是,以上讨论都是在单调单值测度空间上进行的,而对于单调集值测度空间上原子或伪原子的性质以及(n)积分的研究却不多见。而本文给出了单调集值测度空间上原子、伪原子和（n）积分的概念，并研究它们的一些基本性质，丰富了单调集值测度的理论体系，为接下来进一步研究单调集值测度提供了理论基础和方法指导。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：本文将首先对一类取值于m维正欧氏空间子集的集函数,引入一类单调集值测度；其次重点讨论此类单调集值测度空间上的原子、伪原子及其性质；最后，在单调集值测度空间上，给出了函数的(N)积分定义,讨论了(N)积分的一些基本性质,特别地证明了原子集上(N)积分的一个重要定理。

预期目标：在规定的时间内全面完成研究任务，初步给出单调集值测度空间上原子和伪原子的概念和基本理论以及(N)积分的一些性质和重要结论，在某些点上获得比较深入的研究成果，在研究方法上能有所创新。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：本文将把单调测度与集值测度有机结合起来，提出单调集值测度的概念，并对其原子、伪原子相关内容作比较系统的研究，其内容是一般测度论中有关内容的推广，最后在单调集值测度上定义了（n）积分的概念，讨论了(n)积分的一些基本性质，特别地证明了原子集上(n)积分的一个重要定理。本文在充分阅读掌握文献资料的基础上，积极开展有关研究，勤于思考，分析得当、立论有据，力求多出成果，在内容上有一定的创新。

研究步骤：

1.查阅相关的书籍和文献资料，了解集值单调测度的研究背景、意义和现状。

4. 参考文献

[1]h.suzuki.atomsoffuzzymeasuresandfuzzyintegrals[j].fuzzysetsandsystems,1991,41(3):329-342.

[2]e.pap.therangeofnull-additivefuzzyandnon-fuzzymeasures[j].fuzzysetsandsystems,1994,65(1):105-115.

[3]q.jiang,h.suzuki.lebesgueandsakesdecompositionofσ-finitefuzzymeasures.fuzzysetsandsystems.1995,75:373-385.

5. 计划与进度安排

（严格按照数理学院2022届毕业设计（论文）工作计划规定的进度安排。）重要时间节点如下：

1、3月9日-3月20日：阅读掌握文献资料，完成开题报告；

2、3月23日-5月29日：根据文献资料和开题报告，写毕业论文；