压缩映射原理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

背景： 波兰数学家Banach在1992年使用Picard迭代方法证实了Banach压缩映射原理之后，由于结果的优美性和成功的解决了像隐函数存在定理，微分方程初值问题解的存在性等一系列重大应用问题，使得不动点理论成为数学宝库中的一朵奇葩，促使数学家们对其进行了深入和广泛的研究。特别是近几十年来，随着计算机的发展，人们使用各种各样的迭代方法去逼近非线性映射的不动点并应用其解决某些实际问题。

意义： 压缩映射是一类非常重要的非线性算子，它保证了度量空间中某一类自映射不动点的存在性及唯一性。并提供了具体的构造方法。它有效的解决了许多实际问题，例如，在数学，物理学及工程上的许多问题都可以转化为非扩张映射的不动点问题，使得这门学科的理论及应用研究都取得了重要进展，并日臻完善，形成了非线性泛函分析理论的重要组成部分。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容：　　本课题主要研究压缩映射原理的由来，其具体的表述方式，以及它在以下六个方面的应用:　　1、隐函数存在定理 2、方程求解（牛顿法） 3、微分方程 4、积分方程 5、线性代数方程组的求解 6、数列求极限

预期目标： 能具体清晰的掌握压缩映射原理，清楚的知道它在各个方面的应用，通过压缩映射原理在以上六方面的运用，沟通学科间的联系，加深对相关知识的理解。

3. 研究的方法与步骤

研究方法： 文献研究法、定量分析法、经验总结法、描述性研究法、数学方法等。

步骤： 先通过由论文指导老师提供的参考文献和网络及周边信息去图书馆查找相关书籍，搜集、整理与论文有关的、充分的、准确的信息资料，补充有关知识。

通过对一些知识的理解掌握来进行具体的定量分析，归纳总结。通过具体的研究，整理成文字描述，再通过数学方法去验证修改形成论文。

4. 参考文献

主要参考文献：[1]泛函分析讲义上册[M]，张恭庆，北京大学出版社，1987[2]泛函分析讲义下册[M}，张恭庆，北京大学出版社，1990[3]数学分析中的典型问题与方法第2版[M]，裴礼文，北京：高等教育出版社，2002[4]不动点理论及其应用[M]，陈汝栋，北京：国防工业出版社，2012[5]不动点理论[M]，江泽涵，北京：北京科技出版社，1979[6]序压缩映射的不动点定理[J]，数学学报，2005,973-978

5. 计划与进度安排

具体进度安排：

1.2022年11月15日～2022年3月2日，按照指导老师任务要求初步理解本课题的目的要求和任务，准备相关的参考资料；2．2022年3月2日～2022年3月13日，指导教师向学生讲授所选论题的状况或要求；3.2022年3月9日～2022年3月18日，学生完成开题报告；4.2022年3月23日～2022年5月29日，进行论文写作，并且每周向指导老师汇报交流一次论文进展情况；5.2022年4月27日～2022年5月10日，接受毕业论文中期检查，重点向指导老师汇报论文进展情况和遇到的困难，请求老师详细指导；6.2022年5月18日～5月24日，完成论文初稿，交论文指导老师审阅,并进一步修改；7.2022年5月25日～6月3日，论文定稿并按格式打印论文；8.2022年6月4日～6月10日，毕业论文评阅；9. 2022年6月11日～6月17日，毕业论文答辩。