有关双随机矩阵积和式的一个不等式的研究开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

课题研究意义及应用前景

积和式是定义在矩阵上的一类特殊函数。在数学，特别是线性代数中，积和式是一个与行列式类似的多项式。valiant 在 1979 年以矩阵积和式的复杂性分析入手，发展了 #p-完全理论，是计数复杂性理论的奠基工作，也是他获得 1986 年 nevanlinna 奖的主要贡献之一。计数问题的目的是数出判定问题最优解的个数，其难度自然不低于判定问题，即判定问题如果是 np-完全的，其计数问题一定是困难的。如果所有具有多项式时间算法的判定问题（p 问题），其对应计数问题也都是容易的，那么就无需特别对计数复杂性进行研究。如果存在反例，则计数复杂性就一定有其不平凡的特性，值得深入研究。二部图完美匹配的判定和计数问题，就是人们发现的第一个判定问题是 p 问题，而其计数问题为 np-难的不平凡的实例。而二部图完美匹配的计数等价于矩阵积和式。所以，矩阵积和式在计数复杂性理论中具有基础性的重要意义。这些实际问题的研究也迅速推动了积和式理论与计算方面的进展，多位 wolf 奖、turing 奖、nevanlinna 奖、dannie heineman 奖的获奖科学家给出了积和式的一系列重要理论结果，而且一些突破性的成果发表在 annals of mathematics，journal of the acm等顶级学术期刊杂志上面。

另一方面，双随机矩阵也作为研究积和式时的一类特殊情况被研究者们所重视。

2. 研究的基本内容和问题

研究目标及内容

van der waerden在1926年提出猜想：若，则的最小值在处取得（我们记所有元素为阵1/n的n级矩为j_n，显然）。egorychev在1980年的时候证明了这个猜想，之后这个结果就被称之为van der waerden-egorychev定理。

m.marcus和h.minc在充分研究了van der waerden猜想之后，提出了另一个猜想：当且时，

3. 研究的方法与方案

研究方法

本项目将在充分理解积和式与双随机矩阵的特性的前提下对van der waerden-egorychev定理的证明过程进行研究，并根据已有对n=3和n=4时的证明过程做类比推理，再借助数学归纳等数学方法来证明结论，并通过计算机编程来取特殊值进行检验。

技术路线/实验方案

4. 研究创新点

1.本课题所需要的基础知识对于信息与计算科学专业学生来说易于理解和掌握，并且该专业学生有丰富的学科背景知识。

2.目前已有对于低阶情况的论证，方便我们借此找到对于更高阶情况的论证方法。

3.本课题作为已有srt项目的延伸，可以借助前期srt项目的研究结果和经验。

5. 研究计划与进展

二月：研究积和式与双随机矩阵的基本概念及相关特性；

三月：查找并阅读与van der waerden-egorychev定理，m.marcus和h.minc猜想有关的文献；