与双随机矩阵积和式相关的不等式探究开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

课题意义：

积和式是定义在矩阵上的一类特殊函数。在数学，特别是线性代数中，积和式是一个与行列式类似的多项式。积和式在概率论、组合数学、分子化学、无线通信、统计物理及计算机科学，特别是图论和计算复杂性理论中有重要的地位，比如一个二分图的完美匹配的数目可以表示为对应的积和式的值。valiant于1979年给出了积和式的计算是#-p难问题，由于积和式的计算十分困难，所以它的应用受到了一定的限制。到目前为止，关于积和式的通用精确算法是基于斥容原理的ryser算法，但该算法只对低阶矩阵有效。对于高阶矩阵，近似算法仍缺乏实用性；若矩阵具有特殊的结构特征，则可以根据其结构特征构造出相应的算法以提高计算效率。

二十世纪七、八十年代，由于无线通讯、计算机网络、分子化学、统计物理、碳纳米结构模拟、代数方程组全部解的计算等领域一些重要问题的推动，积和式的理论和计算引起了大批学者的广泛关注。其中由于0-1矩阵的积和式与图论的密切关联，人们尤其关注0-1矩阵积和式值的计算。找到一个有效的算法计算0-1积和式对于组合数学有着重要的意义，其值的计算直接对应了二分图的完美匹配计数、以及图的圈覆盖计数题。

2. 研究的基本内容和问题

研究目标及内容：

二十世纪初期的三大著名猜想之一van der waerden猜想^[1]：若且，则有

3. 研究的方法与方案

研究方法：

在以往的数学学习中，关于不等式的证明有用数学归纳法证明、用导数及单调性证明、利用最值证明、利用中值定理证明及积分证明等方法。在研究本课题中的不等式时，需要充分把握该不等式的发展背景及研究其相关的已有结论，并在其已有结论基础上，着重研究或a为部分可分解矩阵时该不等式的证明方法。通过类比这两种情况下的证明方法结合数学归纳法及利用最值等方法来证明该不等式对 ，在时成立。最后，利用数学计算软件，如matlab, python等对所得结论进行检验。

4. 研究创新点

特色或创新之处

在以往文献及资料中，已知e. t. h. wang的猜想：已有前人研究证和明过，但是这些研究并没有完全证明在矩阵a为双随机矩阵时不等式是否完全成立，只是证明了两种特殊情况下成立，即

1.在，时不等式成立；

5. 研究计划与进展

研究计划及预期进展：

三月初至三月中旬：了解与本文积和式不等式相关已有结论及其证明过程；

三月内：围绕本文所探究的不等式进行筛选相关结论，找到有利于证明其成立的相关结论；