黎曼积分和勒贝格积分的比较研究开题报告

全文总字数：514字

1. 研究目的与意义

19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。

在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。

波恩哈德黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样的基础。

2. 国内外研究现状分析

勒贝格积分是在二十世纪提出的，它建立在勒贝格提出的可列可加测度论的基础上，被称作是变函数论,在此基础上,各种新的分支相继产生,复变函数论向纵深发展形成复分析,三角级数理论发展成为傅立叶积分由于处理高维空间中曲线曲面及多变量函数的整体性质的需要,使得拓扑学知识和代数工具的大量使用,形成流行上的分析,使微分几何学和偏微分方程等学科相结合,形成当代数学的主流方向.分析学跃上新高度的标志是泛函分析的产生,巴纳赫空间,希尔伯特空间已被完全掌握,但是无限维上的微积分学还没有诞生,积分理论仍有待进一步发展. 从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程,生动说明了数学的发展是永无止境的,虽然勒贝格积分比黎曼积分优越很多,但是随着函数论等各门学科的发展,勒贝格积分也慢慢的暴露出了一定的局限,勒贝格积分也有待进一步发展。

3. 研究的基本内容与计划

数学分析中的黎曼积分有着密切的联系,它是黎曼积分的拓广,比黎曼积分优越,对黎曼积分起指导保证作用,利用它来研究黎曼积分的许多概念可得到较为深刻的结果,提供黎曼积分本身无法解决的一些问题的理论根据,反过来,黎曼积分是勒贝格积分的模型。

黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积，这些面积最后收敛于给定的函数的积分。

这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。

4. 研究创新点

以个人观点来总结研究相关资料中黎曼积分和勒贝格积分的比较研究，吸取过去研究者的经验，更加深入透彻地进行研究黎曼积分和勒贝格积分的区别。