微分算子逆谱问题数值解的研究开题报告

全文总字数：880字

1. 研究目的与意义

微分算子逆谱问题就是根据谱数据重新构造它的势函数，这种问题往往出现在数学、自然科学和工程等领域，微分算子逆谱问题在求解数学物理中的非线性发展方程中也发挥了重要作用。我们研究了Sturm-Liouville算子逆谱问题数值解中的算子变换法和谱映射法的数值实验。

2. 国内外研究现状分析

关于逆谱问题的正式研究开始于1929年Ambarzumian对经典Sturm-Liouville方程即势函数的讨论，Ambarzumian首次给出了势函数为零的充要条件，此后，势函数的逆谱问题引起了广泛关注和研究，并取得了丰富的成果。在20世纪50年代，由前苏联的数学家Levinson、Marchenko和Tikhonov等提出了一系列求解Sturm-Liouville问题的方法，他们将Sturm-Liouville问题化为一个等阶的二阶双曲线型偏微分方程的Goursat问题，使逆谱问题的求解在理论上前进了一大步。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

先熟悉国内外的数学家对于微分算子逆谱问题的研究及相关文献，在此基础上，利用matlab编程最大可能地实现几种不同的算法，将计算机与数学紧密联合。

研究计划：

4. 研究创新点

国内外的数学家主要研究Sturm-Liouville算子，以及算子在数学、物理学、工程技术等自然学科中的重要应用，尤其在量子力学中，Sturm-Liouville算子是描述微观粒子运动状态的基本数学手段，特色是采用了两种方法：算子变换法、谱映射法，创新是在原有的研究基础上，利用MATLAB编程实现算法并得出结果。