求解二维抛物型方程的有限差分方法开题报告

全文总字数：909字

1. 研究目的与意义

抛物型方程可以用来描述许多物理和工程的实际问题，例如物体的热传导，流体力学问题等。一般而言，我们很难用解析的方法求出方程的精确解。数学上可以用数值方法求出方程的解在一些离散点上的近似值，而有限差分方法是求解微分方程的一种非常有效的数值方法。有关一维热传导方程的有限差分法求解，已经可以用Matlab编程来实现，二维的抛物方程的Matlab求解也已有人研究，在前人的求解思想基础上，进一步对抛物方程进行探讨。本课题将研究二维抛物型方程相应差分格式的建立和差分格式的稳定性和收敛性分析。最后通过数值算例验证差分格式的正确性和有效性。

2. 国内外研究现状分析

国内：李国生在《有限差分法求解静电场问题》中论述了变系数热传导方程的两层绝对稳定的差分格式，研究了二维变系数非齐次热传导方程的两层绝对稳定差分格式的问题。马小霞在《抛物型的高精度差分格式的构造和理论研究中》用待定系数法对p维抛物型抛物方程构造出了三层显式差分格式稳定性较好的，并且使算子方法，对二维和三维抛物型方程构造出了高精度的绝对稳定的交替方向隐式差分格式，在空间变量增加的情况下，也指出了构造高精度交替方向隐式差分格式的一般方法。张靖周在《高等传热学》中分析一维非稳态导热的分析解法及其主要结果，以无内热源平壁非稳态导热为例，分析出非稳态导热过程的特点。

国外：在研究有限差分逼近偏微分方程时，主要是组织传统差分方法的并行实现，在此基础上，高阶差分格式方面的研究得到了很大发展.设计了分组显式方法保证了数值计算的稳定性，从而提高方法的计算精度。这些非对称格式都是隐格式，但由于它们之间的巧妙结合，可以显式求解，这就是Evans-Abdullah分组显式（GE）说明了建立满足上述要求的新的差分格式是可能的。但是在将分组显式思想应用于变系数问题时，稳定性的证明遇到了困难.在欧美各国，运用MATLAB强大的图形绘制功能，为科学计算和图形处理提供了很大的方便。。因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解抛物方程。借助MATLAB的数值计算和图形处理技术，可以绘制出二维抛物方程数值解的二维、三维图形，从而可以更好地理解抛物方程解的意义。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：二维抛物方程求解及几个求解实例

1、详细了解二维抛物方程的基本理论以及应用范畴

2、给出二维抛物方程的理论知识和方法

4. 研究创新点

毕业设计将给出不同的初始条件、边界条件的非稳态导热偏微分方程的实用的、具有较高精度、较快收敛速度、稳定的偏微分方程的差分格式；并将差分方法与其他求解方法对比，说明有限差分方法在非稳态传热问题上的使用价值。