AVF方法研究开题报告

全文总字数：10448字

1. 研究目的与意义

一切保守的无耗散的物理过程与物理现象，我们都可以用hamilton系统来描述。

从而，它能广泛地描述自然现象，并在自然界中具有普遍性。

辛性是hamilton系统的基本特征之一，然而在用传统数值方法模拟hamilton系统时，此特征往往被破坏，由于这一重要性质的破坏，常常使数值模拟失败，特别是在长时间的数值模拟之后，使问题的面目全非。

2. 国内外研究现状分析

在数学和物理中有一大类微分方程，微分方程所描述的系统具有能量守恒的特性。

在数值模拟中，设计精确地保持系统能量守恒特性的数值格式对准确地模拟系统的行为具有重要的意义。

进程方程初值向题就是其中一种有代表性的数学物理方程，它的解在很多情况下可以描述成某种波的传播振幅和相位，是由波的两个基本特征系统的能量和运动的轨道由振幅决定的。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：介绍平均向量场方法的背景，分析平均向量场方法是如何应用到微分方程的求解中。

重点分析算法，并运用软件matlab实现数值模拟。

研究计划：1 ~ 3 周：收集相关资料，要求中文资料不少于10篇，英文资料不少于两篇，熟悉课题内容，完成开题报告；4 ~ 5 周：学习相关平均向量场方法的知识，熟悉其在各领域的应用；6 ~12周：整理相关资料，拟定毕业论文大纲；13~16周：撰写毕业论文，并准备答辩。

4. 研究创新点

长时间的研究与钻研使得人们对这些数值方法的误差有了更清晰的认识，通常这些误差会随着时间的增长而增长。

但对于一些特殊的微分方程其数值方法的误差可以得到控制在那些可以保首次积分的数值方法中，例如runge-kutta方法自动保线性不变量而有些数值方法是强制保持的例如投影方法它首先生成所需的近似点，然后投影到所需的水平集合虽然这种方法在想要保持某种结构时会被广泛使用但是它存在着一些缺点：投影会破坏本来保持的其他结构等。

在这种背景下，一类基于b级数构造的单步法走进人们的视野。