高阶紧差分格式及其应用开题报告

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1. 研究目的与意义

偏微分方程的数值求解的探索与研究已经成为一门独立的学科在工程技术和自然科学领域中有许多问题都可以用来表达与解答。

探讨研究偏微分方程的数值解是解决上述问题的重要工具。

有限差分方法是最早采用的离散方法，至今仍被广泛运用。

2. 国内外研究现状分析

在国外英文文献中，紧差分格式已经被应用到对流-扩散方程、navier-stokes方程组、burgers方程、波动方程、euler方程组、schrodinger方程、泊松方程等问题的数值计算之中。

然而，在国内文献中，较少详细讨论紧差分格式的构造方法，并通过求解泊松方程的第一类边值问题来介绍如何应用紧差分格式来离散偏微分方程。

现代科学计算面临着求解高维非线性及奇异解等困难问题,要求计算规模越来越庞大,提高有限差分格式精度的经典措施:加密网格,实际上受到严重限制"如三维弹性力学组,目前一般只能限于每个方向为50一100个节点的计算规模"因此,如何在不增加或少增加计算量的情况下,进一步显著提高有限差分法的精度,从而可解决更大规模更复杂的问题,一直是人们十分关心的重要问题,而紧差分格式正是实现这种进一步显著提高有限差分格式精度的有效途径.

3. 研究的基本内容与计划

1) 查阅约十五篇文献，综述现状 2015.12）用高阶紧差分格式求解二阶椭圆方程 2015.23）用高阶紧差分格式求解双调和方程 2015.3-44）做数值试验 2015.55）提交论文，修改，定稿，答辩 2015.6

4. 研究创新点

紧差分格式相较于传统的差分格式最大的优势在于使用较少的节点数就可以达到较高的计算精度。

而且相较于传统的差分格式是显式逼近导函数在节点处的函数值，紧差分格式的到的节点处的导函数值是隐式的。