非线性方程求解方法的研究开题报告

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1. 研究目的与意义

近几十年来,非线性科学得到了迅速的发展,现在人们己经普遍认识到非线性科学处于自然科学前沿的前沿领域,它作为一门研究非线性现象共性的交叉学科，被誉为20世纪继相对论、量子力学之后的又一次科学革命。非线性科学也是人类认识自然的一次飞跃,它正改变着人们对传统学科划分和科学研究的方法。其实非线性问题在数学、物理和力学中早已存在,但从前人们只是对具体问题采取新颖的技巧或特殊的算法个别地解决,没有认识到它们之间的内在联系，不能用解析方法一般地处理。

从20世纪60年代开始,由于计算机的广泛应用和由此发展起来的计算物

理和实验数学方法的应用,非线性科学得以飞跃发展。一方面，人们在研

2. 国内外研究现状分析

最近几十年，国外有关非线性方程迭代法方面的文章、专著层出不穷。

很久以前就存在具有三阶收敛效果的 Olver 迭代法；但因为计算过程要涉及到二阶导数，其计算复杂性高于牛顿迭代公式，所以不如牛顿迭代法广为人知；后来在 19 世纪中后期，俄罗斯数学家切比雪夫方法也利用 Taylor 公式给出了一种需要二阶导数，达到三阶收敛的 Chebyshew 迭代法；因为不动点迭代法应用较为广泛，但收敛速度很慢，Aitken为了提高收敛速度给出了 Aitken 加速迭代公式；Stiffensen在 Aitken 加速方法的基础上给出了二阶局部收敛的Stiffensen 加速方法； 当然最常见的关于迭代法的著作还是对牛顿迭代法的改进，比如不需要计算导数值得到的简化牛顿法，为了防止产生的迭代序列发散改进的牛顿下山法等等。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

内容：迭代法解非线性方程

方法：

4. 研究创新点