热传导方程差分方法研究开题报告

全文总字数：1325字

1. 研究目的与意义

近年来，物理数学已经成为应用数学中发展和成长最快的领域之一。这其中很大程度上是因为它受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所推动。

热传导方程是偏微分方程的一个重要分支，它主要的功能是描述一个区域内的温度是如何随时间变化的。热传导方程也是抛物型方程中最简单的一种，亦被称作扩散方程。热传导方程在很多数学模型中出现过，它主要研究固体内部的热量传输，分析固体表面与环境进行热交换时其内部的变换规律。工业以及国民经济中对于热传导的研究都有着重要联系，例如：食品冷冻过程，金属材料热加工过程中内部温度分布，材料结构热应力计算，各工程热物理性能的实验测定以及各种接触式温度传感器数学模型的分析等问题的解决，都紧密依靠导热理论的指导。同时，它也是深入学习和研究各种传热现象和工程热物理学科必不可少的工具。因此，对热传导方程的研究有着非常重要的实际意义。

2. 国内外研究现状分析

就目前而言，对于偏微分方程定解问题的数值解法主要是有限差分方法，有限元方法以及边界元、混合有限元、有限体积法等，他们在应用领域都获得了非常好的结果。而有限差分方法是其中比较常见且行之有效的方法之一，对于热传导方程的数值求解主要就是采用了有限差分方法。经过了八十多年的发展，已经取得了很大成功，尤其是近二十多年的发展，研究的成果颇多，马明书、曾文平、金承日等人为此作出了不懈的努力。有限差分方法虽然误差较大，但是，我们可以通过不断的改进差分格式来降低误差，使精度得到提高。传统差分格式有古典显格式，其截断误差为 ，精度较低，且对网格比 要求小于 ；古典隐格式，同样是较低精度，截断误差为 ，但此格式无条件稳定；crank-nicolson格式则是对古典显格式和古典隐格式进行加权平均，又称为六点对称格式；传统差分格式还有richardson格式，是一个完全不稳定的差分格式，没有使用的价值，但对于它的研究正好说明了对差分格式进行理论分析的必要性。

另外，钟万勰提出了子域精细积分法来求解偏微分方程，其截断误差仅为 。

刘桂利通过子域精细积分法的基础上，采用 逼近形式，构造一个含参数 无条件稳定的高精度紧致差分格式，局部截断误差达到 。

3. 研究的基本内容与计划

本文的内容主要分为两个部分，其中之一是对现有的基础的热传导方程差分方法的整理、归纳、比较、总结，分别用几种方法对热方程求解，求出其截断误差，从而比较它们的稳定性，并分析它们各自的稳定条件。另外一个部分则是对其利用Matlab进行数值计算，将这几种基础方法进行数学实现，通过精确结果，图解给我们更加直观的对比，另附上了Matlab程序，增加读者对实际应用的了解。

4. 研究创新点

本文主要在于整理、归纳、比较几种基础的求解热传导方程的差分方法，并没有推出新的方法。

但本人的论文结构框架简洁明了，能够给读者以基础的差分方法入门学习，从而在此之上进行更加深入的了解学习，希望可以给读者学习上的帮助。