椭圆界面问题的新型有限差分方法开题报告

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1. 研究目的与意义

现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。

从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。

遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。

2. 国内外研究现状分析

目前处理椭圆型方程界面问题的方法有光滑法，调和平均法，浸入边界法和浸入界面方法。

光滑法主要处理的是一维系数不连续的情况，对于二维和三维问题，由于构造光滑函数比较困难，因此此方法就不宜使用。

调和平均法是八十年代tikhonov和samarski提出的求解椭圆型方程界面问题的新方法，当方程中的系数不连续时，调和平均法比光滑法好一些。

3. 研究的基本内容与计划

椭圆型方程数值解的研究是研究微分方程的基础，实际问题中碰到的大都是带有间断系数微分方程，所以本次试验重点研究椭圆方程界面问题。

对于这一问题，国内外已经有很多种处理方法，其中leveque和李志林教授于1994年提出的浸入界面方法（iim）很好的解决了这一问题。

并且，李志林等人成功的将浸入界面方法用于求解不可压stokes方程及带有奇异源项的navier-stokes方程组。

4. 研究创新点

用Matlab编程实现具体的算例