微分中值定理的证明开题报告

全文总字数：1278字

1. 研究目的与意义

目的：研究微分中值定理的目的是为了让学生多个角度去了解微分中值定理的来源、掌握不同的证明方法以及它在实际问题中的一些运用，从而提高学生数学思维能力。

意义：微分中值定理有罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，微分中值定理是微分学理论重要组成部分，它们揭示了函数与微分之间的联系，在微分学中具有十分重要的地位。在很多大型考试中，微分中值定理也常常成为考试重点，但由于其理论性强，抽象性高，致使很多学生只能大致了解它们的形式，如何将其运用到解题中，而不能正在掌握其中的精华，因此进一步深层次挖掘与研究显得必要且十分重要。

2. 国内外研究现状分析

人们对于微分中值定理研究最早要回溯到公元前古希腊时代古希腊数学家在研究几何的时候所得出的结论：过抛物线弓形的顶点的切线必定平行于弓形底部的连接的直线。这个结论我们可以类同于微分中值定理中的拉格朗日的一个特殊情况。数学家阿基米德正是根据这个定理求出了弓形的面积。

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出了多项式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中给出拉格朗日中值定理，并给出最初的证明。后来法国数学家柯西对微分中值定理进行了进一步的研究，同时他也是数学分析严格化的推动者，《分析教程》《无穷小计算教程概论》《微分计算教程》这三本书都以严格化为目标，对微分中值理论进行了重构。在《无穷小》中，柯西还用严格的方式证明了拉格朗日的定理，又在《微分》中将其进行了推广，最终发现了发现柯西中值定理。

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，主要作用在于理论分析和证明，运用导数来判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。

3. 研究的基本内容与计划

内容：

（1）三个微分中值定理的来源与发展

（2）三个微分中值定理的证明方法

4. 研究创新点

详细介绍三大中值定理之间的密切联系，详细阐述如何构造辅助函数，并给出和常规证法不一样的证明方法；同时对结论进行了相应的推广；此外，还将微分中值定理应用于解决一些实际问题，给出一些比较的应用。