一类椭圆方程零点解的几何结构开题报告

全文总字数：1017字

1. 研究目的与意义

偏微分方程起源于各种应用科学与工程中，如物理学（多孔介质流动和扩散问题抽象出椭圆型方程或抛物型方程，声波和电磁场的传播抽象出双曲型方程等）、天体力学、流体力学、生物学等领域。偏微分方程是刻画与描述系统状态，物理过程，生物现象与社会现象的重要工具。

Heisenberg群是一类最简单的、非平凡的非欧氏空间；由于平移映射族和伸缩映射族的存在，Heisenberg群具有丰富的内蕴结构，而且其几何结构与欧氏空间有本质的区别，因此开展Heisenberg群上的几何与分析问题的研究具有很重要的理论意义和实际价值。次Laplace方程是Heisenberg群上最典型的二阶线性偏微分方程。由于这类次椭圆方程在量子力学、金融数学、边界层理论和图像处理等领域都有重要的应用，且方程本身又是一类高度退化的偏微分方程，对它的研究越来越受到人们的重视。偏微分方程解的几何结构，作为重要的几何特征，长期以来一直是偏微分方程研究的重要问题之一。

2. 国内外研究现状分析

欧氏空间上的Laplace方程作为一类典型的二阶椭圆偏微分方程，其解通常称为调和函数，调和函数的理论发展至今近乎完善。1977年Lewy刻画出二维平面和三维空间上齐次调和多项式的零点集的几何结构。后来有很多学者研究一般的调和函数的零点集的几何性质，韩青和林芳华在2013年的著作里系统的介绍和证明了调和函数零点集合的几何性质。

Heisenberg群上次Laplace方程与经典的Laplace方程具有很多类似的地方，如它们的基本解形式类似，都具有平均值公式和格林函数等等。但是另一方面，Heisenberg群上次Laplace方程是退化椭圆方程，其呈现出和Laplace方程不一样的特性，如次Laplace算子无法分离变量 ，这就意味着我们无法通过分离变量的方法求其齐次多项式基底，这也是本课题研究问题的一部分。

3. 研究的基本内容与计划

本课题主要研究一类特殊退化椭圆方程----Heisenberg群上次Laplace方程解的零点集的几何结构。首先拟求解出次Laplace方程的低阶齐次多项式解，分析齐次多项式解的几何结构；然后猜测和证明高阶齐次多项式解，进一步刻画高阶齐次多项式解的几何结构。

4. 研究创新点

由于Heisenberg群上次椭圆方程理论涉及微分几何、度量空间上的分析、几何分析和偏微分方程等领域，所以本课题的研究是分析和几何的交叉。