关于正交多项式的一些研究开题报告

1. 研究目的与意义

现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。如数值天气预报、航天、和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂自然现象，使其求解极为困难；很多情况下，也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。

用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 称为逼近的误差或余项。在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。

正交多项式在数学物理方程, 数值分析等一些经典的数学分支中有着重要地位. 正交多项式的性质

2. 国内外研究现状分析

一元正交多项式相关理论是经典分析中的一个既古老而又十分重要的分支。它和分析中的很多其它重要分支有着紧密的联系，例如三角函数，超几何函数，bessel函数，椭圆函数，调和分析，以及连分式等等。其中连分式在相当长的时间里被忽视，但它一直被看作是正交多项式的一个重要起源。

上个世纪应该是正交多项式理论及应用相当发展的时期。曾出现过以下重要著作：szeg 的著作，freud 的著作，nevai的著作，askey 的著作，及chihara的著作。随着现代计算机的迅猛发展，正交多项式在科学计算等应用领域正起着越来越重要的作用。例如，最小二乘方拟合，数值积分，线性代数系统求解，微分方程数值求解等。

与许多其它问题一样，开展多元正交多项式的研究无疑是很必要的，也是具有相当挑战性的。这方面的工作最早可以追溯到 hermite。早期的多元正交多项式的工作主要集中于经典的二元正交多项式的分析，可参见appel 和de friet 的著作，erdlyi 的著作，及 koornwinder 的综述性文章。而发展到今天，多元正交多项式的理论是相当丰富的，特别值得一提的是 dunkl 和 xu 的著作，它给出了有关多元正交多项式许多方面的最新进展。

3. 研究的基本内容与计划

1）查阅约15篇文献，综述现状。 2013.1-2

2）总结常用的多项式插值。 2013.3

3) 研究勒让德多项式的性质。 2013.3

4）考察切比雪夫多项式的性质。 2013.4

4. 研究创新点

介绍常用的多项式插值法；其次，研究勒让德多项式的性质；最后，考察切比雪夫多项式的性质；并要求举例实现。