积分中值定理及应用开题报告

1. 研究目的与意义

目的：本课题的主要目的是帮助我们更进一步的地了解积分中值定理的证明及其应用。

意义：数值积分是计算数学的基本内容, 在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。

2. 国内外研究现状分析

积分中值定理是高等数学课程中的基本定理之一，有着广泛的应用价值。在数学分析中学到微分与积分是可看作互为逆运算的两种运算，因此依常理推想微分中值定理与积分中值定理应该存在着某种天然的联系，但在一般的数学分析教科书中积分中值定理的证明不依赖微分中值定理，而依赖于闭区间上连续函数的性质最值性定理和介值性定理。本文将借助积分上限函数的性质，利用微分中值定理证明积分中值定理，并且给出了积分中值定理几个推广形式。

积分中值定理的中间值从诞生到现在的近300 年间，对它的研究时有出现。自1982年b.jacobson给出了第一积分中值定理中间值的渐近性问题，引起了不少数学工作者的关注。数学工作者已经在实函数中研究了中间值的渐近性问题而且有了许多很好的结果。本文从该定理出发，在实分析中介绍了积分第一中值定理在不同条件下中值点的渐近性问题。

数值积分是计算数学的基本内容, 在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如i.牛顿、l.欧拉、c.f.高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

3. 研究的基本内容与计划

首先，对积分中值定理给出一些推广形式；其次，分析积分中值定理的中间值的渐进性质；最后，考察积分中值定理在数值积分中的应用；并要求举例具体实现。

方案与时间安排：

1）查阅约15篇文献，综述现状。

4. 研究创新点

本文在分析教材中积分中值定理的条件下，对积中值定理的证明与应用进行了探讨，一方面有利于我们加深了对积分中值定理的理解，另一方面扩展了积分中值定理的推广及应用，使得积分中值定理的应用更广泛、更有效。

为了更好地认识和应用积分中值定理，本文除了给出并证明积分第一第二中值定理外，还论证了积分中值定理在开区间的也成立这一重要结论，同时给出了第一第二中值定理的推论。