泰勒公式的原理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，应为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种逼近的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这队函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。

目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判断级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。

2. 国内外研究现状分析

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈诉出他已于1712年7月给其老师梅钦信中首先提出的著名定理泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式则表示为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而来的，当x=0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才有柯西完成。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容

（1）介绍泰勒公式及其证明方法

（2）利用泰勒公式求极限，证明不等式判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数的极值求初等函数的幂级数展开式，进行近似计算，求高阶倒数在某些点的数值，求行列式。

4. 研究创新点

利用泰勒公式求极限、判断级数的敛散性、求行列式的值、进行近似计算、、证明不等式以及在不等式中的应用、求初等函数的幂级数展开式、在函数凹凸性及拐点判断中的应用、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求高阶导数在某些点的数值。

对常积分余项泰勒公式的证明方法进行归纳，灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题，研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径 。