不动点理论及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

不动点理论产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论。它是20世纪一个格外引人注目的数学分支,当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果。在这一时期,不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得。该理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域,它的历史悠久,却又是近现代一个发展较快的理论定理。不动点定理实际上是算子方程的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。

其一直是研究泛函微分系统和经济领域中的均衡问题的一个重要工具。不动点定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题的研究，具有重要的理论价值。泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理不动点定理。这正是抽象的结果。

2. 国内外研究现状分析

L.E.J.布劳威尔在1911年证明了不动点原理也叫压缩映像原理或巴拿赫(Banach)不动点定理，完整的表达为：完备的距离空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。在此之前的1886年一个等价形式早被H.poinare证明.但是这个定理只告诉我们不动点的存在性，却没有给出不动点的具体位置的求法。1922年,Banach给出了不动点原理:压缩映像原理.由它不仅可以判断不动点的存在唯一性,而且还可以构造一个迭代序列,逼近不动点到任何程度,在应用数学的几乎各个分支都有着广泛的应用。J.尼尔斯1927年发现，一个映射的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。JSchauder在1930年给出的一个应用广泛的不动点定理：Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,它至今仍是研究非线性微分方程解存在性的有力工具。1967年，美国耶鲁大学的斯卡弗教授提出有限点列逼近不动点的算法，也就是本文中的不动点迭代的算法，不动点的应用从此更加广泛。

3. 研究的基本内容与计划

压缩映射原理设x是完备的度量空间，t是x上的压缩映射，那么t有且只有一个不动点（就是说，方程tx=x，有且只有一个解）。

定理一（brouwer不动点定理）有限维欧式空间中与闭单位球体同胚的集合有不动点性质。设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.用这定理可以证明代数基本定理复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理,常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济。

定理二（schauder不动点定理）banach空间中的紧凸集具有不动点性质。设m是banach空间x的非空紧凸集,t：m→m是连续映射,则t在m中有不动点。

4. 研究创新点

文章分为四个部分，首先是引言部分，提出了论文的研究背景和意义，并且对相关的文献进行综述；接着介绍了Banach不动点理论和压缩映射原理的介绍发展及其相关应用进行分析，不动点理论在微分方程和拓扑学中的应用。第三部分运用Banach不动点理论研究一个具体应用问题。最后作出详细的相关总结以及自己的研究认识。