切比雪夫多项式的应用研究开题报告

全文总字数：1479字

1. 研究目的与意义

切比雪夫多项式是计算数学中的一类特殊函数，对于阻抗变换问题等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。切比雪夫多项式在逼近理论中也有重要的应用。因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。切比雪夫多项式还可应用与数学竞赛，方程求根，解线性方程组以及特征值问题的解决，因此，切比雪夫多项式有着重要的研究意义

2. 国内外研究现状分析

近年来国内外关于切比雪夫多项式的研究层出不穷，国内西安交通大学学报的赵金伟，冯博琴等人于2012年发表过泛化的统一切比雪夫多项式核函数，针对分布稀疏，特征不明显的小样本数据回归中的属性冗余问题，基于统一切比雪夫多项式，提出一种向量形式输入的可变正交多项式核函数-泛化的统一切比雪夫多项式核函数；顾乐民发表预测型切比雪夫多项式；西南师范大学学报的化小会，张秋生发表的切比雪夫多项式在代数信号处理中的应用，针对切比雪夫多项式零根的插值方法，介绍了两个经典的解决切比雪夫插值问题的方案；师白娟研究过包含切比雪夫多项式的循环矩阵行列式的计算，利用多项式因式分解的逆变换这一重要的技巧以及这类循环矩阵漂亮的结构和切比雪夫多项式的特殊的结构，分别讨论了第一类，第二类切比雪夫多项式的关于行首加尾右循环矩阵，和行尾加首左循环矩阵的行列式；杨学锋，程鹏飞于测绘通报发表的利用切比雪夫多项式拟合卫星轨道坐标的研究，在该文中，针对在几种不同弧段内，利用不同阶数的切比雪夫多项式对精密星历卫星轨道坐标进行拟合所能达到的精度作了较细致的研究。国外的O.M.Podvigina和V.A.Zheligovsky在Journal of Scientific Computing发表的An Optimized Iterative Method for Numerical Solution of Large Systems of Equations Based on the Extremal Property of Zeros of Chebyshev Polynomials.

3. 研究的基本内容与计划

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号tn表示， 第二类切比雪夫多项式用un表示。切比雪夫多项式 tn 或 un 代表 n 阶多项式。

第一阶段：（2016年12月中旬）：论文定题，确定指导老师，收集并阅读相关的文献资料；

第二阶段：（2016年12月下旬至2017年2月）：审查、修改、完成开题报告；

4. 研究创新点

切比雪夫多项式是以递归方式定义的一系列正交多项式序列，也可以由余弦倍角得出。目前已发现其许多性质，包括递推关系，正交性，奇偶性等等。切比雪夫多项式有着广泛的应用，在数学竞赛方面，切比雪夫多项式可以用来解决竞赛题甚至难度大的高考数学压轴题；由于切比雪夫多项式在[-1,1]上有n个零点和n 1个极值点，所以在插值拟合中同样有着重要的应用，可使插值误差最小化；除此之外，切比雪夫多项式还可以用解决线性方程组和特征值问题。